沙拉公主的困惑

本来一开始觉得用欧拉函数不可取的，因为$M!$太大了

所以我想到了质因数分解，只要找的数不含$M!$的质因子即可

理想是美好的，但是现实是我没有办法确定每一个非$M!$质因子的质因子的个数，因为我最后要保证所有质因子的乘积不会超过$N!$

所以我们只能再回到欧拉函数

我们稍微的套用一下欧拉函数的公式，就会发现（不考虑溢出）阶乘的欧拉函数还是很好求的

说明这条路可能走得通，试一下

第二种情况怎么分析？从我们学过的公式来说，欧几里得公式似乎挺好用的，所以我们就考虑$gcd(k,M!)=1$的$k$的个数（其中$k＜M!$）

那这不就是$\phi (M!)$吗？我们只需要还原回去就行了

具体来说，设$k+t\ast M!\le N!$且$k+(t+1)\ast M!＞N!$，解出$t$就好了，注意解不等式的时候有$k<M!$和$M!|N!$

这里说一下，假定了一个$k$之后，每一步是增加$M!$而不是$k$，脑子别发癫了

update 2024.8.1

第三遍做这道题目，总算做出来啦

关键就是利用欧几里得公式啦