冗余路径

对一个e-DCC来说，由于任意一条边都被包含在一个简单环中，所以任意两个点我们都可以构造出两条不相交的路径，如下

也就是把每一条边都替换成简单环的另一条路径

而对于位于不同的e-DCC的点显然是有必经边的

于是这道题目就转化成一个模型：给连通的无向图加边，使得无向图没有桥（即变成边双连通分量），最小化加边数

因为边双连通分量本来就没有桥，所以我们考虑对整个图求一遍边双连通分量（使用 tarjan 算法），然后将边双连通分量缩为一个点考虑。那么缩完点后得到的图一定是一棵树（因为图中不可能存在环）

然后要加的边的个数就是$\lceil \frac{cnt}{2}\rceil$，其中$cnt$是图中度数为$1$的点数

先证这是下界

对于缩点之后的树，如果我们的操作没有涉及某个叶子（注意这里是叶子而不是度数为$1$的点），那么这个叶子一定就会一直待在这里直到我们某次操作涉及它；也就是说每个叶子都会被操作至少一次；如果根节点的度数为$1$，那么根节点下面一小部分是一条链，在操作涉及根节点之前是不可能把这条链给合并了的（有可能把链的长度缩短），也就是说此时根节点也会被操作至少一次。综上，最小操作次数就是$\lceil \frac{cnt}{2}\rceil$

然后构造一下：

直接考虑节点数量在$2$以上的情况，我们任选一个度数大于$1$的点（一定找得到）作为根节点，然后这棵树就长这个样子：

每个子树都有若干个叶子，数目设为$a_1$，$a_2$，...，$a_n$（假设已经从大到小排好序了）

我们每次选择不同的子树的两个叶子连边（这么做的原因就是因为每次连边的点的LCA都是根节点），相当于把序列{$a$}中选两个数$-1$

先假设$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i\ge a_n$

我们每次操作都让$a$中最大的数和最小的数进行减一（中间注意动态调整），我们先来论证这种操作在任意时刻都是可能的

在$a_n$变成跟$a_{n-1}$相等之前，式子$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i\ge a_n$恒成立，所以一定能从前$n-1$个数找到最小的与$a_n$同时减一；如果某时刻$a_n=a_{n-1}$，如果此时$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i＞a_n$，那么再进行一次操作之后，$a_{n-1}$就会变成最大的，但是仍然满足“最大值不超过其余所有数的和”，就回到了之前的过程，否则的话此时有$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i=a_n$，由于$a_n$是最大值且$a_n=a_{n-1}$，所以$\sum _{i=1}^{n-2}{a}_i=0$，也就是说前$n-2$个数全为$0$，接下来的操作就是不断操作剩余的两个数就好了

由于数是有限的，最后要么全部变为$0$，要么还剩下一个$1$

对于前面一种情况，此时就已经符合题意了，对于后面一种情况，此时在让这个叶子节点与根节点进行连边即可，不难算出添加的边数是以上结论给出的式子

如果$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i＜a_n$怎么办？

此时，我们换根，让$a_n$所对应的子树的顶点作为根，直到对应的序列满足$\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i\ge a_n$

证毕

这种每次按照单位数量选两个减的好像都是让最大的和最小的减，然后中途动态调整

一模一样的题

update 2024.8.4

证明过程中，对数列$a$每次选取两个不同的数减一，这是一个很重要的模型

比如Colored Balls，而Ans && Conclusion给出了更简单的一种证明