买还是建

这一道题目，我们看到$q$非常小，所以可以尝试从$q$入手

对每种组合，我们想要求出必须选择这些组合的MST，也即“含有必须边的MST”（尽管现在还不清楚每个组合的边是什么，下文会说）

这种情况跟陈立杰出的那道“tree”非常像，我们只用把必须边的边权缩小放到前面然后跑Kruscal即可

那为什么步骤一要求MST？如何保证正确性？

这是为了缩小复杂度，正确性可以从Kruscal的过程进行考虑。通过prim求出的MST显然也可以通过Kruscal求出，假设我们通过Kruscal求出了步骤一所求的MST，那么我们现在把必须边全部放到前面了，再跑一次Kruscal，原来没被选择的边一定不会被选择（因为现在还多了边形成连通块了，没被选择的边所连接的两个点一定在同一连通块内），被选择的边不一定会被选择，所以我们只用保留原来被选择的边即可，跑完之后一定是MST

到这里就可以回答一下最开始的问题，我们不用关心$A_i$里面的边到底是什么，假设$A_i$一共有$k$个点，随便选$k-1$条边就可以了，只要这些边的边权为$0$，因为我们不关心$A_i$的具体样子，他只要联通就好了（事实上，就算把$A_i$中的两两连线全部加入Kruscal的过程，当某一个套餐的点完全连通后，这个套餐剩下的边肯定都不会再选择了，从Kruscal的过程我们也可以证明正确性）

update 2024.5.23

重新做这道题目的时候，就是一直在想对每个组合都去求一次prim的最小生成树

然而这样子的话显然复杂度爆炸了

所以这道题目启示我们，如果要对一个图反复地求MST，可以像上面这样优化时间复杂度（先求一次MST，没有被选中的边就可以直接舍弃了）

update 2024.8.17

重新做一遍花了二十分钟做出来了。实际上这种技巧非常常见，即删除MST多余的边