苗条的生成树

先来证明一个性质：同一个图的不同生成树的最大边权和最小边权相等

最小边权很显然相等，这个不用证

主要是最大边权

假设有两个生成树都是最小生成树，其中 $G_{1}$ 的最大边权 $s_{1}$ 小于 $G_{2}$ 的最大边权 $s_{2}$

在 $G_{2}$ 中删去最大边，会形成两个连通块，假设这条最大边连接的是 $u$ 和 $v$ 两点，我们设在 $G_{1}$ 中从 $u$ 到 $v$ 的路径是 $P$ ，那么 $P$ 上不可能每一条边都在 $G_{2}$ 中，我们把所有不在 $G_{2}$ 中的边加入 $G_{2}$ 中，那么 $u$ 和 $v$ 一定被重新连通（即图又只变成了一个连通块），这就说明这些不在 $G_{2}$ 中的边至少存在一条边（设为 $w$ ）可以连通这两个连通块，而且由于我们删除的边的边权是 $s_{2}$ ，所以我们删除 $s_{2}$ 加入 $w$ 一定会让整棵树的边权之和减少，这就与其是MST矛盾，所以结论得证

一种更简单的证明方法：考虑利用“北极网络”这道题目的思想。将 $G_{2}$ 中所有小于 $s_{2}$ 的边先全部选上，然后再将原图中所有小于 $s_{2}$ 的边全部选上，则 $G_{1}$ 是新图的子图，所以新图一定连通。在保留 $G_{2}$ 中所有小于 $s_{2}$ 的边的条件下，通过破圈法删边直到变成一棵树，此时的树的边权和一定比 $G_{2}$ 小，与 $G_{2}$ 是MST矛盾