野餐规划

先来转换一下题意：首先，所有点一定与公园连通，否则的话存在一个人到不了公园；其次一条边最多被经过一次，否则的话第一次经过的车可以在起点等着，等到第二辆车到，然后两辆车合为一辆车。综上，我们选取的边至少要有 $n - 1$ 条边，每选取一条边就将这条边的权值计算到答案中（如果一条边被选取了却不计算答案，那么就说明这条边没有被经过，也就是说去除这条边不影响答案，也就是只将经过的边加入到最终的图中），所以为了权值最小又为了连通，我们只用求MST即可

首先这里有个严谨的拟阵证明

然后来讲一下蓝书的做法

根据这道题目的题解的证明的做法，我们只需要证明每次删边都不会删除与 $1$ 相关联的边就好了

利用数学归纳法

假设我们此时（设这个时候为 $T_{0}$ ）找到的非树边为 $(1, a)$ （在之前所删除的边都是与 $1$ 无关的边），然后就形成了一个环，假设这个换上除了 $(1, a)$ 这条边之外，权值最大的边为 $(1, b)$ 导致要删除 $(1, b)$ ，也就是说长成下面这个样子

如果说 $(1, b)$ 的边权小于 $(1, a)$ ，那么算法就结束了，所以假设 $(1, a)$ 的边权更小

此时考虑 $(1, b)$ 被加入的时候

假设 $(1, b)$ 是最开始加入的 $T$ 条边中的一条边，那么显然就有 $(1, a)$ 的边权大于 $(1, b)$ 的边权，矛盾，所以 $(1, b)$ 只能是后面加入的；然而根据归纳假设， $(1, b)$ 被加入的时候（设这个时候为 $T_{1}$ ）删除的一定是一条与 $1$ 无关的边，也就是说某个连通块由于删边（设这条边为 $e$ ）被分成了两部分，那么这个时候有加入 $(1, a)$ 这条边更优，因为我们在 $T_{0}$ 时加入 $(1, a)$ 后形成了一个环 $1 - > a - > b - > 1$ ，由于每个操作都只会删除边而不会添加边，所以说 $T_{1}$ 时加入 $(1, a)$ 环 $1 - > a - > b - > 1$ 仍然存在，删除 $(1, b)$ 显然仍然可以从 $1$ 走到 $a$ 再走到 $b$ ，而在 $T_{1}$ 时加入 $(1, b)$ 会形成一个环 $1 - > b - > c - > 1$ （且 $e$ 在这个环上，显然 $e$ 在 $b$ 和 $c$ 之间），那么就说明在 $T_{1}$ 时我们加入 $(1, a)$ 而不是加入 $(1, b)$ 仍然会形成一个环 $1 - a > b - > c - > 1$ 且 $e$ 在这个环上，于是加入 $(1, a)$ 删除 $e$ 就是更优的选择