野餐规划

先来转换一下题意：首先，所有点一定与公园连通，否则的话存在一个人到不了公园；其次一条边最多被经过一次，否则的话第一次经过的车可以在起点等着，等到第二辆车到，然后两辆车合为一辆车。综上，我们选取的边至少要有\(n-1\)条边，每选取一条边就将这条边的权值计算到答案中（如果一条边被选取了却不计算答案，那么就说明这条边没有被经过，也就是说去除这条边不影响答案，也就是只将经过的边加入到最终的图中），所以为了权值最小又为了连通，我们只用求MST即可

首先这里有个严谨的拟阵证明

然后来讲一下蓝书的做法

根据这道题目的题解的证明的做法，我们只需要证明每次删边都不会删除与\(1\)相关联的边就好了

利用数学归纳法

假设我们此时（设这个时候为\(T_0\)）找到的非树边为\((1,a)\)（在之前所删除的边都是与\(1\)无关的边），然后就形成了一个环，假设这个换上除了\((1,a)\)这条边之外，权值最大的边为\((1,b)\)导致要删除\((1,b)\)，也就是说长成下面这个样子

如果说\((1,b)\)的边权小于\((1,a)\)，那么算法就结束了，所以假设\((1,a)\)的边权更小

此时考虑\((1,b)\)被加入的时候

假设\((1,b)\)是最开始加入的\(T\)条边中的一条边，那么显然就有\((1,a)\)的边权大于\((1,b)\)的边权，矛盾，所以\((1,b)\)只能是后面加入的；然而根据归纳假设，\((1,b)\)被加入的时候（设这个时候为\(T_1\)）删除的一定是一条与\(1\)无关的边，也就是说某个连通块由于删边（设这条边为\(e\)）被分成了两部分，那么这个时候有加入\((1,a)\)这条边更优，因为我们在\(T_0\)时加入\((1,a)\)后形成了一个环\(1->a->b->1\)，由于每个操作都只会删除边而不会添加边，所以说\(T_1\)时加入\((1,a)\)环\(1->a->b->1\)仍然存在，删除\((1,b)\)显然仍然可以从\(1\)走到\(a\)再走到\(b\)，而在\(T_1\)时加入\((1,b)\)会形成一个环\(1->b->c->1\)（且\(e\)在这个环上，显然\(e\)在\(b\)和\(c\)之间），那么就说明在\(T_1\)时我们加入\((1,a)\)而不是加入\((1,b)\)仍然会形成一个环\(1-a>b->c->1\)且\(e\)在这个环上，于是加入\((1,a)\)删除\(e\)就是更优的选择

综上得证

提一下，这道题目代码挺难写的，可以看一下

最后来说一下这道题目怎么用wqs二分做

由于wqs二分是恰好找\(s\)度点，所以必须分两种情况讨论（假设这个函数的极值点是\(x_0\)）：

我们先直接求一遍最小生成树，那么\(1\)号点的度数肯定就是\(x_0\)；如果\(x_0≤s\)，那么这肯定是最优的答案；否则的话，根据凸函数的性质，\(1\)号点的度数一定恰好为\(s\)的时候最优，那么此时就可以用wqs二分了