走廊泼水节

来严格证明一下做法

我们利用数学归纳法证明，过程很像“推论+数归证明Kruscal”

假设我们按照书上这么添加后，执行Kruscal

当前执行到\(i\)这条边，已经选上的边都是最开始的树边，已经循环过但没选上的边都是添加的非树边

假设\(i\)是添加的边，那么\(i\)一定不会被选上，因为此时已经选上的边组成了最开始的树的一部分，而导致\(i\)被添加的树边一定已经被遍历过并且选上了，所以\(i\)一定是连接同一连通块中的两点的边，不会被Kruscal选上

假设\(i\)是原来的树边，那么\(i\)一定会被选上，因为根据数学归纳法，我们之前已经被选上了的都是树边，而\(i\)不被选上的原因肯定是因为\(i\)所连接的两点所在的连通块已经被联通了，然后能够完成此操作的必须是被选上的边，由于被选上的都是树边，最开始的树是不可能通过其他树边来完成这个操作的，所以\(i\)不可能不被选上

由以上过程可知，形成MST的过程是唯一的，被选上的一定是最开始给的树边

然后再证明这种方案一定是最小的。反证，如果有一条非树边的权值减少\(1\)，那么将这条非树边添加到原树中并且删除导致这条非树边被添加的树边显然仍然是一颗MST且权值不变但是形态改变了

综上，上述方案合法且为下界