蓝书P364的推论证明

其实这个证明与前面那个证明很像

假设最终生成的生成树不包含这$m-k$条边中连接生成森林的两个不连通节点的最小的边，那么我们从这些最小的边中任选一条边加入到树中会形成一个环，而且这个环（除了加入的这条最小边）一定存在一条边不是最开始的$k$条边中的某一条（因为如果这个环除了加入的最小边，剩余的边都是$k$条边中的某一条的话，那么这条加入的最小的边就是连接生成森林的两个连通节点的边了，根本不在我们的考虑范围之内），把这条边删掉换成这个最小的边，根据“向树加入一条边形成一个环，删除环上任意一条边后的图仍然是树”可得结论

但是注意，如果这$m-k$条边中连接生成森林的两个不连通节点的最小的边有多条，那么不是每一条都被选择的，但其中至少会选择一条，而且任意一条都可以生成MST

然后用数学归纳法可以证明Kruscal的正确性

从以上证明过程也可看出，我们生成MST时（比如做Kruscal时），任选这$m-k$条边中连接生成森林的两个不连通节点的最小的边，最终一定都能生成一个MST