保卫王国

我们先来考虑没有特殊节点怎么做

设\(f[i][0/1]\)表示以\(i\)为根的子树，\(i\)是否放置军队的最小代价，这个DP非常简单，方程就不写了

然后考虑有一个特殊节点怎么做，我们不妨以这个特殊节点为根，于是就可以发现，其他点的\(f\)的值显然都不变，对于根节点，题目要求是否放置，输出对应的\(f\)的值即可

但是我们发现这道题目可能多次询问，于是可以想到换根DP

设\(F[i][0/1]\)表示原树除去以\(i\)为根的子树，剩下的部分，在\(i\)是否选择的情况下的最小代价（注意剩下的部分的情况只与\(i\)是否选择有关，而与\(i\)的子孙节点是否选择无关）

有\(F[i][0]=F[u][1]+f[u][1]-min(f[i][0],f[i][1]),F[i][1]=min(F[u][1]+f[u][1]-min(f[i][0],f[i][1]),F[u][0]+f[u][0]-f[i][1])\)，其中\(u\)是\(i\)的父亲

现在来考虑有两个特殊点的情况，看这篇题解即可，下面对这篇题解做一些解释

对于这句话：

这句话的意思就是说（以题解中给的图为例），\(L,P,Q\)的\(f\)值不变（这个比较显然），而在去除以\(D\)为根的子树并且确定了\(D\)是否放置之后，剩下部分构造出满足题意的最优军队放置方法不变（无论这条链上其他点是否放置）

然后题解中的\(dp\)就是上面的\(f\)，\(ndp\)就是上面的\(F\)

对于这句话：

就是用暴力维护而已（对链上每个点，自底向上地对每一个点重新做一遍没有特殊点的DP，也就是算\(f\)的时候的DP），下面的\(ans\)就是暴力维护之后的最新的\(f\)

对于这个状态：

实际上就是表示的是以\(i\)的\(2^t\)祖先的子树除去以\(i\)为根的子树的剩余部分

对于这一部分：

假设LCA倍增过程中，当前从\(a\)往上跳到的节点为\(i\)，那么\(ans\)数组表示的就是以\(i\)为根的子树除去以\(a\)为根的子树的剩余部分在\(i\)的放置情况为\(p\)时的最优放置情况

也许你还能想到另一种做法：

先考虑只有一个特殊点的情况，如下，假设\(p\)是特殊点

然后依次考虑\(k,j,i\)的\(f\)的变化情况，发现真的有规律

然后就可以拓展到有两个特殊点的情况

但是上面这种做法的问题就是最终统计答案的时候需要分类讨论，很麻烦。实际上，之所以想到这种办法，还是因为认为\(p\)的改变会影响全局，然而根据我们上面的分析，我们完全可以预处理出一些其他DP数组，因为去除一个子树，剩余部分的最优放置只与这个子树的根节点的放置情况有关，而与这颗子树的其他节点无关