一双木棋 chess

轮廓线DP，最主要的就是把轮廓给描述出来

这道题目很容易发现一个性质，就是他的轮廓一定是长成阶梯（锯齿）状的

于是我本人想到的一个状态描述就是去描述拐点（也就是计数单增函数的那个模型，比如接下来的数列可以理解为$0$表示往右走，$1$表示往左走）：用两个二进制数表示行和列的拐点（为$1$则表示对应行/列有拐点），最开始从左下开始向右走，遇到行的拐点就变成向左走，遇到列的拐点又变成向右走，如此反复

但是这种状态表示需要判断是否合法，而且转移很麻烦（其实不会，见update）

我们来看看最简单的一种状态

画图之后可以发现每行的棋子数是一个递增序列，即上一行的棋子数一定比下一行多，而且每一行的棋子都是从左往右那么多个，也就是说确定了每一行的棋子数就确定了整个局面，所以关键就是如何简洁地表示一个递增序列

我们可以先写$m$个$0$，然后看每一行，有几个棋子就在第几个$0$后面插入一个$1$

首先我们先写出$5$个$0$，即$00000$

然后看第一行，有四个黑点，于是再第四个$0$后面放上一个$1$，变成$000010$

其他行依次类推，最后变成了$1011010010$

于是我们可以发现我们放一个棋子，就是把当前状态的某一个子串$10$（注意一定是$1$在$0$的前面，而且两者是挨着的）变成$01$（即交换两者顺序），而且只要我们最开始的状态合法，是按这个规则交换的，那么交换后的状态也一定合法

所以代码复杂度要小很多，具体见洛谷

所以以后这种锯齿状的可以考虑这么去描述轮廓

update 2024.7.4

学了离散数学之后，可以知道，判断合法的问题可以固定$1$和$0$的数量来解决，也就是说，一个$01$串合法当且仅当$0$有$m$个，$1$有$n$个

转移也很简单，我们假设串是从右往左看的，那么每一个$01$ 都可以转移成$10$

由于这里阶段不清晰，我们采用记忆化搜索实现，具体见hydrooj的luogu remotejudge代码

update 2024.9.6

其实这道题目作为一个博弈论DP也可以吸收一些东西：就像期望DP一样，我们关心的是当前状态到最终状态的最优值；尽管当前状态下已经放了的棋子可能会导致两者的得分不同，但是我们不关心。之前遇到的博弈论都还没有这个问题，这是唯一一道。由于我们不关心，所以我们可以直接描述轮廓进行DP