一双木棋 chess

轮廓线DP，最主要的就是把轮廓给描述出来

这道题目很容易发现一个性质，就是他的轮廓一定是长成阶梯（锯齿）状的

于是我本人想到的一个状态描述就是去描述拐点（也就是计数单增函数的那个模型，比如接下来的数列可以理解为\(0\)表示往右走，\(1\)表示往左走）：用两个二进制数表示行和列的拐点（为\(1\)则表示对应行/列有拐点），最开始从左下开始向右走，遇到行的拐点就变成向左走，遇到列的拐点又变成向右走，如此反复

但是这种状态表示需要判断是否合法，而且转移很麻烦（其实不会，见update）

我们来看看最简单的一种状态

画图之后可以发现每行的棋子数是一个递增序列，即上一行的棋子数一定比下一行多，而且每一行的棋子都是从左往右那么多个，也就是说确定了每一行的棋子数就确定了整个局面，所以关键就是如何简洁地表示一个递增序列

我们可以先写\(m\)个\(0\)，然后看每一行，有几个棋子就在第几个\(0\)后面插入一个\(1\)

首先我们先写出\(5\)个\(0\)，即\(00000\)

然后看第一行，有四个黑点，于是再第四个\(0\)后面放上一个\(1\)，变成\(000010\)

其他行依次类推，最后变成了\(1011010010\)

于是我们可以发现我们放一个棋子，就是把当前状态的某一个子串\(10\)（注意一定是\(1\)在\(0\)的前面，而且两者是挨着的）变成\(01\)（即交换两者顺序），而且只要我们最开始的状态合法，是按这个规则交换的，那么交换后的状态也一定合法

所以代码复杂度要小很多，具体见洛谷

所以以后这种锯齿状的可以考虑这么去描述轮廓

update 2024.7.4

学了离散数学之后，可以知道，判断合法的问题可以固定\(1\)和\(0\)的数量来解决，也就是说，一个\(01\)串合法当且仅当\(0\)有\(m\)个，\(1\)有\(n\)个

转移也很简单，我们假设串是从右往左看的，那么每一个\(01\) 都可以转移成\(10\)

由于这里阶段不清晰，我们采用记忆化搜索实现，具体见hydrooj的luogu remotejudge代码