邮局问题

这个DP方法一定不会遗漏最优解

我们假设最优解中，第$j$个邮局管辖的村庄集合是$S$，那么以$S$中横坐标最小的村庄为分界点，这个分界点一定会被枚举到的，而且由于这个方案是最优解，如果我们把第$j$个邮局放在中位数那里，其他村庄的管辖是不会变的（否则就不是最优解了）

update 2024.6.25

上面这个递推公式解释一下：假设我们已经求出$sum[i][j-1]$了，那么我们分类讨论一下，如果$j-i$是奇数，那么此时对$[i,j-1]$这些村庄来说，邮局是在唯一的中点的，所以对于$[i,j]$来说，我们只用加上新加入的一个村庄到这个终点的距离就好了，也就是$p[j]-p[(i+j)/2]$；如果$j-i$是偶数，那么此时对$[i,j-1]$这些村庄来说，邮局可以在两个中点之间的任何一个点，不妨设在两个中点中坐标更大的一个点，于是就可以直接加上$p[j]-p[(i+j)/2]$就好了

update 2024.8.27

解决这个问题的一般做法是对顶堆，但是像这样给出的数都是单调递增的，我们就可以这样$O(1)$递推