邮局问题

这个DP方法一定不会遗漏最优解

我们假设最优解中，第\(j\)个邮局管辖的村庄集合是\(S\)，那么以\(S\)中横坐标最小的村庄为分界点，这个分界点一定会被枚举到的，而且由于这个方案是最优解，如果我们把第\(j\)个邮局放在中位数那里，其他村庄的管辖是不会变的（否则就不是最优解了）

update 2024.6.25

上面这个递推公式解释一下：假设我们已经求出\(sum[i][j-1]\)了，那么我们分类讨论一下，如果\(j-i\)是奇数，那么此时对\([i,j-1]\)这些村庄来说，邮局是在唯一的中点的，所以对于\([i,j]\)来说，我们只用加上新加入的一个村庄到这个终点的距离就好了，也就是\(p[j]-p[(i+j)/2]\)；如果\(j-i\)是偶数，那么此时对\([i,j-1]\)这些村庄来说，邮局可以在两个中点之间的任何一个点，不妨设在两个中点中坐标更大的一个点，于是就可以直接加上\(p[j]-p[(i+j)/2]\)就好了

update 2024.8.27

解决这个问题的一般做法是对顶堆，但是像这样给出的数都是单调递增的，我们就可以这样\(O(1)\)递推