货币系统

其实这道题目如果加上证明有蓝的

观察样例的解释，我们可以猜测一个结论：最终的货币面值一定由最初的货币面值的子集构成，而且没有选择的货币面值是可以被选择的货币面值线性表示的（其实由线性代数的思想也可以比较容易地猜出这个结论，但是注意不要用线性方程组有解判定，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，因为这里要求向量的每个分量都是非负的，不能是随意的一个向量）

所以我们马上就得到了一个DP算法，在考场上实在证不出来直接写就好了：

1、将$a$数组从小到大排序

2、最小的数必须要选，然后利用完全背包的思想，从$a_i$到最大值筛选一遍，将可以组成的打上标记

3、在判断后面的数字时，如果已经被标记过了，就不再选，没有被标记过就标记一下，再筛选一次数(即一次完全背包)

那么我们来详细证明一下这个结论

假设我们按照DP算法选出来的是数组$A[1-k]$，最终选出的货币系统是$B$（假设两个数组都从小到大排序了）

奠基：显然$B[1]$只能等于$A[1]$，否则要么$A[1]$无法被$B$表示，要么$B[1]$无法被$A$表示

归纳：假设$A$的前$i-1$个与$B$的前$i-1$个相等，那么一定有$A[i]=B[i]$，这是因为$B[i]$既不能严格介于$A[i-1]$和$A[i]$之间，不然的话，$B[i]$一定不能被$B$的前$i-1$个数表示（因为$B$是我们选出的货币系统，是线性无关的，不存在某一个数能被其他数线性表示），所以$B[i]$不能被$A$线性表示，这是不可能的；同理可得$B[i]$一定不会大于$A[i]$（否则$A[i]$无法被$B$表示），这就推出了$A[i]=B[i]$