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看这篇题解

解释一下：

对于$f[i]$来说，如果$next[i]$为$0$，那么$f[i]=i$，否则的话，答案只有可能是集合{$next[i],next[next[i]],...$}中的一个元素，设这个集合为$S$

引理：如果一个模式串可以覆盖$i$，那么这个模式串就可以覆盖$next[i]$

证：如下图

绿色的表示模式串，我们将图中第二个绿色模式串去掉，再在$i-next[i]$处加上一个绿色模式串（如下图），就可以得到一个$next[i]$的覆盖

证毕

于是可以知道，集合$S$中小于$f[next[i]]$的元素都不可能成为答案（因为如果是答案的话，就能覆盖$i$，当然也就能覆盖$next[i]$，与$f[next[i]]$的最小性矛盾），而大于$f[next[i]]$的元素如果能覆盖$i$的话，那么$f[next[i]]$一定也能覆盖$i$（设这个元素为$p$，$f[next[i]]$能覆盖$i$，就能覆盖$next[i]$，就能覆盖$next[next[i]]$，...，就能覆盖$p$，所以$p$对$i$的覆盖就能替换为$f[next[i]]$对$i$的覆盖），所以我们只用考虑$f[next[i]]$能否覆盖$i$就好了

充要条件见题解，证明比较简单，与上面的证明差不多