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看这篇题解

解释一下：

对于\(f[i]\)来说，如果\(next[i]\)为\(0\)，那么\(f[i]=i\)，否则的话，答案只有可能是集合{\(next[i],next[next[i]],...\)}中的一个元素，设这个集合为\(S\)

引理：如果一个模式串可以覆盖\(i\)，那么这个模式串就可以覆盖\(next[i]\)

证：如下图

绿色的表示模式串，我们将图中第二个绿色模式串去掉，再在\(i-next[i]\)处加上一个绿色模式串（如下图），就可以得到一个\(next[i]\)的覆盖

证毕

于是可以知道，集合\(S\)中小于\(f[next[i]]\)的元素都不可能成为答案（因为如果是答案的话，就能覆盖\(i\)，当然也就能覆盖\(next[i]\)，与\(f[next[i]]\)的最小性矛盾），而大于\(f[next[i]]\)的元素如果能覆盖\(i\)的话，那么\(f[next[i]]\)一定也能覆盖\(i\)（设这个元素为\(p\)，\(f[next[i]]\)能覆盖\(i\)，就能覆盖\(next[i]\)，就能覆盖\(next[next[i]]\)，...，就能覆盖\(p\)，所以\(p\)对\(i\)的覆盖就能替换为\(f[next[i]]\)对\(i\)的覆盖），所以我们只用考虑\(f[next[i]]\)能否覆盖\(i\)就好了

充要条件见题解，证明比较简单，与上面的证明差不多