数字序列

首先来看一下蓝书上面的两个思考题

一.

将一个序列\(A\)改成单调不下降序列，最少需要修改多少个数？

答：用\(A\)的长度减去其最长单调不下降子序列的长度即可

那如果在最少修改数的基础上，我要让每个数改变的绝对值之和的最小值最小怎么办？

答：首先，这根“Making the Grade”这道题目很像，所以我们考虑用DP

我们假设已经选好了一个\(A\)的最长单调不下降子序列作为其保留的数，然后把剩下的数进行修改

由“分级”这一道题目给我们带来的启发，我们可以想到一个引理：设\(a[i]\)和\(a[j]\)是我们选出的\(A\)的最长单调不下降子序列中相邻的两个数（在原序列\(A\)中不一定相邻），那么我们修改\(a[i]\)和\(a[j]\)中间的数时，可以找到一个分界点\(k\)，让\(a[i+1\)~\(k]\)的值全部修改为\(a[i]\) ， \(a[k+1\)~\(j]\)的值全部修改为\(a[j]\)

这个证明与AcWing上y总的证明以及我的写在博客里面的证明非常像：我们假设已经随便移动这些数让他们介于了\(a[i]\)和\(a[j]\)之间

这里借用洛谷的一个图片，实际上这些平台根本不用递增

然后我们依次从左往右考虑每一个平台，让他往上或者往下移动，如果中途碰到了另一个平台就带着这个平台一起移动（但是方向一定要最优），由于平台个数是有限的，最终一定会移动完成的，也就是引理

注意，上述移动过程的正确性还要基于我们选出的是最长不下降子序列，也就意味着\(b[i+1]\)到\(b[j-1]\)的每一个数要么小于\(b[i]\)，要么大于\(b[j]\)，所以一个平台在碰到其他平台之前的移动过程中，不会出现最优方向改变的情况（i.e.，比如不会说本来最开始向下移动最优，但是动着动着就在还没有碰到其他平台的地方最优方向改变，变成向上移动最优了）

但是还有一个问题：\(A\)可能会有多个最长单调不下降子序列，我们怎么确定选择哪一个？

实际上，这种情况有大概两种解决方法：第一种是尝试证明无论怎么选答案都一样，就随便选一个就可以了；第二种就是利用DP或者贪心等等选择最优方案

这里不用第一种，因为这是伪命题，所以用第二种

我们设\(f[i]\)表示以\(a[i]\)结尾的最长单调不下降子序列的长度，\(G[i]\)是一个向量，存储所有长度为\(i\)的LIS的结尾的下标（i.e.，对于\(G[i][j]\)，存在一个上升子序列，使得其长度为\(i\)且以\(a[G[i][j]]\)结尾）

然后我们枚举每一个\(i\)的时候，再枚举\(G[f[i]-1]\)，判断一下相对大小，然后在枚举分段点即可

时间复杂度\(O(n^3)\)

但是数据是随机生成的，说这句话的意思就是说时间复杂度大点点没事（这也就是为什么我们要用\(G\)去维护信息而不是直接再枚举一维，如果再枚举的话时间复杂度就跟数据无关了，直接爆炸）

另外提一句，这道题目还可以用可并堆“左偏树”解决

二.

将一个序列\(A\)改成单调上升序列，最少需要修改多少个数？

答：设\(b[i]=a[i]-i\)，用\(B\)的长度减去其最长单调不下降子序列的长度即可

那如果在最少修改数的基础上，我要让每个数改变的绝对值之和的最小值最小怎么办？

答：修改\(a[i]\)，那么对应的\(b[i]\)也会被修改，而且由于\(i\)不变，两者的修改一模一样，所以转化成了上一个问题

这也就是这道题目的做法