LIS问题的优化

普通的LIS问题的时间复杂度是$O(n^2)$，瓶颈主要是在方程$f[i]=1+max(f[j])$，其中$1\le j＜i$且$a[j]<a[i]$中寻找$j$上

我们尝试用贪心优化，这里的$j$就是小于$i$的比$a[i]$小的且$f[j]$最大的$j$

根据贪心原则，假设当前循环到了$i$（还没有开始处理），我们用$h[k]$表示$f[j]$为$k$且$a[j]$最小的$a[j]$（$1\le j＜i$）

假设当前循环到了$i$，此前的最优长度为$len$

那么如果$a[i]>h[len]$，那么就可以$len$++,$h[len]=a[i]$

否则的话，我们可以发现$h$是单调的（为什么见下），于是我们二分，找到一个位置$l$，满足$l$是最大的且$h[l]<a[i]$，然后就有$f[i]=l+1$，再考虑修改，肯定就是$h[l+1]=min(h[l+1],a[i])$，此时修改后$h$仍然是单调的，所以$h$一直都是单调的

当然上述方法有一定思维含量，我们可以利用数据结构来减少思维含量

我们将$a$离散化，设$h[k]$表示值为$k$（离散化后）的最大的$f$，我们查找区间$[1,a[i]-1]$的最大值就好了