周期

具体解法见LYD蓝书

这里主要讲一下为什么只用判断$next[i]$，而不用继续判断$next[next[i]]$或者$next[next[next[i]]]$等等

主要是有以下几个结论：

如果$s[1$～$i-next[i]]$不能作为$s[1$～$i]$循环元，那么$s[1$～$i-next[?]]$也都一定不能作为$s[1$～$i]$的循环元

如果$i-next[i]$不可整除$i$，$s[1$～$i]$一定不存在循环元。

如果$i-next[i]$不可整除$i$，$i-next[?]$也都一定不可整除$i$。
如果$s[1$～$m]$是$s[1$～$i]$的循环元，$next[i]$一定为$i-m$($i-m$一定为$next[i]$)。(在算法竞赛进阶指南上有这么一句话：如果$s[1$～$m]$为$s[1$～$i]$的循环元，$i-m$一定是$next[i]$的“候选项”，与此处意义略有不同)

若$m=i-next[i]$，$j=next[?]$，$next[j]=j-m$。(无论$m$可否整除$i$)(由④扩展而来)

以上结论来自这篇文章