火柴排队

这道题目看到题干就知道跟逆序对相关了

首先考虑最终的等式会是怎么样的

既然要成为同序和，我们将两个序列中值相同的连边，比如

那么最终我们要让所有边都是竖直的

由于很像逆序对，我们考虑这里的逆序对是什么

不难看出是有交叉，即用一个二元组$(x,y)$描述一条边，其中$x$是$a$中的下标，$y$是$b$中的下标

那么就是序列中存在两个二元组$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，满足$x_1＜x_2$且$y_1＞y_2$，那么这就贡献了一个逆序对

首先有逆序对肯定不是最终序列

我们再证明没有逆序对了一定是最终序列

在没有逆序对的序列中，由于不存在逆序对，所以对$(1,y_1)$，$(2,y_2)$，$(3,y_3)$...$(n,y_n)$，有$y_n＞...＞y_3＞y_2＞y_1$，根据抽屉原理，必有$y_i=i$，即都是竖直的边，所以就是最终序列

我们再来证明如果一个序列有逆序对，那么一定存在相邻逆序对

反证，如果不存在相邻逆序对，即对$(i,y_i)$和$(i+1,y_{i+1})$，有$y_i＜y_{i+1}$，那么对$i$赋值从$1$到$n-1$，由鸽巢原理可以得出不存在逆序对，与条件矛盾，所以一定有相邻逆序对

我们的一次操作显然最多使逆序对减少一，所以逆序对个数是下限，而我们每次操作相邻逆序对就可以达到这个下限

所以没啥想法可以考虑转换成图论想一想

然后解释一下洛谷题解以$a$为关键字对$b$排序的意思，这是我复习的时候想出来的

首先我们先证明，任何一种操作方式，如果同时操作了两个序列，设操作此时为$x$，则都可以找到一种操作方式只操作一个序列，且操作次数仍为$x$

我们不妨尝试将对$a$的操作全部转移到$b$上去

我们考虑最后一次操作$a$的操作，假设交换了$a_i$和$a_{i+1}$，如果我们不操作这一次，那么在其他操作都不变的情况下，最后可以交换$b_i$和$b_{i+1}$来让序列最优，这也就是说这一次对$a$的操作可以转化为一次对$b$的操作

我们一直这么转换，最后肯定就可以不操作$a$，只操作$b$了

所以我们考虑如何只操作一个数组来达到最优

最优的时候肯定是$a$的最大对应$b$的最大，$a$的次大对应$b$的次大，以此类推

那么我们对$a$，$b$进行离散化，以样例二为例

$a$就变成了1 3 4 2

$b$就变成了1 4 2 3

那么最终我们是要将$b$变为1 3 4 2的，也就是说$b$的1要放到第一个位置，3要放到第二个位置，4要放到第三个位置，2要放到第四个位置（这里从$a$可以直接看出来），这里我们就抽象一下，因为$a$不变，所以现在就认为$1$是传统的$1$，$3$是传统的$2$，$4$是传统的$3$，$2$是传统的$4$，$a$就是下标序列，所以我们再次对$b$重新编号，也就是1 3 4 2（$a$也就是$b$的下标序列，也就是将$a$重新抽象为1 2 3 4，$b$也跟着重新抽象），然后我们要将这个序列通过邻项交换变成有序的，也就是1 2 3 4，当然就是求逆序对了

这种抽象也告诉了我们一种一般的做法：将一种序列通过相邻交换到另一种序列的最小交换次数