火柴排队

这道题目看到题干就知道跟逆序对相关了

首先考虑最终的等式会是怎么样的

既然要成为同序和，我们将两个序列中值相同的连边，比如

那么最终我们要让所有边都是竖直的

由于很像逆序对，我们考虑这里的逆序对是什么

不难看出是有交叉，即用一个二元组\((x,y)\)描述一条边，其中\(x\)是\(a\)中的下标，\(y\)是\(b\)中的下标

那么就是序列中存在两个二元组\((x_1,y_1)\)和\((x_2,y_2)\)，满足\(x_1＜x_2\)且\(y_1＞y_2\)，那么这就贡献了一个逆序对

首先有逆序对肯定不是最终序列

我们再证明没有逆序对了一定是最终序列

在没有逆序对的序列中，由于不存在逆序对，所以对\((1,y_1)\)，\((2,y_2)\)，\((3,y_3)\)...\((n,y_n)\)，有\(y_n＞...＞y_3＞y_2＞y_1\)，根据抽屉原理，必有\(y_i=i\)，即都是竖直的边，所以就是最终序列

我们再来证明如果一个序列有逆序对，那么一定存在相邻逆序对

反证，如果不存在相邻逆序对，即对\((i,y_i)\)和\((i+1,y_{i+1})\)，有\(y_i＜y_{i+1}\)，那么对\(i\)赋值从\(1\)到\(n-1\)，由鸽巢原理可以得出不存在逆序对，与条件矛盾，所以一定有相邻逆序对

我们的一次操作显然最多使逆序对减少一，所以逆序对个数是下限，而我们每次操作相邻逆序对就可以达到这个下限

所以没啥想法可以考虑转换成图论想一想

然后解释一下洛谷题解以\(a\)为关键字对\(b\)排序的意思，这是我复习的时候想出来的

首先我们先证明，任何一种操作方式，如果同时操作了两个序列，设操作此时为\(x\)，则都可以找到一种操作方式只操作一个序列，且操作次数仍为\(x\)

我们不妨尝试将对\(a\)的操作全部转移到\(b\)上去

我们考虑最后一次操作\(a\)的操作，假设交换了\(a_i\)和\(a_{i+1}\)，如果我们不操作这一次，那么在其他操作都不变的情况下，最后可以交换\(b_i\)和\(b_{i+1}\)来让序列最优，这也就是说这一次对\(a\)的操作可以转化为一次对\(b\)的操作

我们一直这么转换，最后肯定就可以不操作\(a\)，只操作\(b\)了

所以我们考虑如何只操作一个数组来达到最优

最优的时候肯定是\(a\)的最大对应\(b\)的最大，\(a\)的次大对应\(b\)的次大，以此类推

那么我们对\(a\)，\(b\)进行离散化，以样例二为例

\(a\)就变成了1 3 4 2

\(b\)就变成了1 4 2 3

那么最终我们是要将\(b\)变为1 3 4 2的，也就是说\(b\)的1要放到第一个位置，3要放到第二个位置，4要放到第三个位置，2要放到第四个位置（这里从\(a\)可以直接看出来），这里我们就抽象一下，因为\(a\)不变，所以现在就认为\(1\)是传统的\(1\)，\(3\)是传统的\(2\)，\(4\)是传统的\(3\)，\(2\)是传统的\(4\)，\(a\)就是下标序列，所以我们再次对\(b\)重新编号，也就是1 3 4 2（\(a\)也就是\(b\)的下标序列，也就是将\(a\)重新抽象为1 2 3 4，\(b\)也跟着重新抽象），然后我们要将这个序列通过邻项交换变成有序的，也就是1 2 3 4，当然就是求逆序对了

这种抽象也告诉了我们一种一般的做法：将一种序列通过相邻交换到另一种序列的最小交换次数