奇偶game
证明一下边带权做法的充分性
我们考虑异或和
对一个01序列,我们做一个异或前缀和,设为\(sum_n\),那么\(a_i=sum_i\enspace xor\enspace sum_{i-1}\)
对任何时刻的没有产生矛盾的并查集森林,我们随便给每个森林的根节点赋值一个0或1,那么其他所有节点的值也能够推导出来(注意中途不可能重复赋值,因为一个点只属于一个集合),如果序列中还剩余一些点没有赋值,就随便赋0或1,然后赋的值作为异或前缀和,就可以推导出来一个符合条件的01序列了
在讨论一下扩展域的做法,一般来说扩展域都可以这么理解
就像蓝书上面说的一样,\(x_{odd}\)和\(x_{even}\)分别表示\(x\)是奇数和偶数,那么连接就代表可以互相推出
我们以前忽略的最严重的一点是,连接后的森林,他是完全对称的,就像下面这样(其中一个方框代表一个并查集集合)
那么对于一个还没有产生矛盾的森林,我们依次对每一排(注意是每一排)的其中一个赋值就好了,比如上图,我们考虑第一排,令\(x\)是奇数,推出\(y\)是偶数,然后右边那个方框就不用管了,令\(i\)是偶数,推出\(j\)是奇数,左边那个方框就不用管了
同边带权,这样对任意一个没有出现矛盾的森林都可以找到一个合法的序列(矛盾指\(x_{odd}\)和\(x_{even}\)在同一个连通块里面)
而合并时只用像蓝书说的那样合并就好了
这也解释了为什么代码里面只用判断一边关系就可以说明是否矛盾
update 2024.5.10
最后说一下这道题目其实就是在描述,可以将元素分为两类,给你一些条件问分法是否矛盾
然后可以用这个并查集做