奇偶game

证明一下边带权做法的充分性

我们考虑异或和

对一个01序列，我们做一个异或前缀和，设为$su{m}_n$，那么$a_i=su{m}_{i}xorsu{m}_{i-1}$

对任何时刻的没有产生矛盾的并查集森林，我们随便给每个森林的根节点赋值一个0或1，那么其他所有节点的值也能够推导出来（注意中途不可能重复赋值，因为一个点只属于一个集合），如果序列中还剩余一些点没有赋值，就随便赋0或1，然后赋的值作为异或前缀和，就可以推导出来一个符合条件的01序列了

在讨论一下扩展域的做法，一般来说扩展域都可以这么理解

就像蓝书上面说的一样，$x_{odd}$和$x_{even}$分别表示$x$是奇数和偶数，那么连接就代表可以互相推出

我们以前忽略的最严重的一点是，连接后的森林，他是完全对称的，就像下面这样（其中一个方框代表一个并查集集合）

那么对于一个还没有产生矛盾的森林，我们依次对每一排（注意是每一排）的其中一个赋值就好了，比如上图，我们考虑第一排，令$x$是奇数，推出$y$是偶数，然后右边那个方框就不用管了，令$i$是偶数，推出$j$是奇数，左边那个方框就不用管了

同边带权，这样对任意一个没有出现矛盾的森林都可以找到一个合法的序列（矛盾指$x_{odd}$和$x_{even}$在同一个连通块里面）

而合并时只用像蓝书说的那样合并就好了

这也解释了为什么代码里面只用判断一边关系就可以说明是否矛盾

update 2024.5.10

最后说一下这道题目其实就是在描述，可以将元素分为两类，给你一些条件问分法是否矛盾

然后可以用这个并查集做