哈夫曼树构造过程的证明

设我们已经构造出来了最优树$T_n$，他的叶子节点分别是$w_1\le w_2...\le w_n$

假设$T_n$的最长的一条路的倒数第二个节点（即这条路叶子节点的父亲）$x$只有一个儿子，那么我们删掉这个节点$x$，让他的儿子代替他，答案会变得更优，矛盾，所以$x$一定有两个儿子。我们假设这两个儿子不全为$w_1$和$w_2$，即有一个儿子$w_y$且$w_y\ge w_2$，那我们将$w_y$与不在这里的$w_1$和$w_2$交换，答案不会变得更差，即一定可以构造出来一个最优树$T_n$，使得$x$的两个儿子为$w_1$和$w_2$

我们在考虑收缩与展开。

假设$T_n$的$w_1$和$w_2$合并成了一个节点（具体来说，令$w_1$和$w_2$的父亲节点的权值为$w_1+w_2$，然后删掉$w_1$和$w_2$）,这颗新树为$T_{n-1}^{\ast }$，那么$V(T_{n-1}^{\ast })=V(T_n)-w_1-w_2$

同时，考虑点集$\{w_3,w_4...w_n,w_1+w_2\}$的最优树为$T_{n-1}$，找到这个最优树权值为$w_1+w_2$的叶子节点，并将其展开（就是上面合并过程的逆过程），设得到的新树为$T_n^{\ast }$，则有$V(T_n^{\ast })=V(T_{n-1})+w_1+w_2$

那么我们把得到的两个式子相加，有$V(T_{n-1}^{\ast })-V(T_{n-1})+V(T_n^{\ast })-V(T_n)=0$，由于$T_{n-1}\mathrm{和}{T}_n$都是最优的，那么必须有$V(T_{n-1}^{\ast })=V(T_{n-1})$和$V(T_n^{\ast })=V(T_n)$，即合并和展开后仍然是最优树

接下来考虑求$T_n$，我们要求$T_n$，如果能够将最小权值的两个节点合并并求出$T_{n-1}$，那么就可以知道$T_n$，然后一直递归下去，最后合并只剩一个节点即可