皇后游戏

先把这个推导看完

现在我们来讲一下总结

首先，我们要观察到$c_i$递增，这样才能更简单，就不用像国王游戏那样在交换前后比较$i$和$j$的max了（就是说，国王游戏需要比较$max(c_i,c_j)$和$max(c_j^{{}^{\prime }},c_i^{{}^{\prime }})$，但是这道题目就只用比较$c_j$和$c_i^{{}^{\prime }}$）

然后，这道题目教会了我们如果去掉max中的max（或min中的min）：先把外层max外面的项全部移动到外层max里面，然后再对内层max进行类似的操作，最终就可以只保留一个max了

那么为什么这道题目能够消掉$y+b_i+b_j$呢？其实就像题解里面说的，数学上是肯定错误的，但是对于这类题目（注意是这类题目，不是这道题目，至于这类是哪一类，见本文最后）是都可以消去的

我们考虑最终的⑤式，如果我们最终的序列满足⑤式，那么肯定是可以推导到①式上面的那一个式子的，那么对这个式子，我们给两个max里面都加上$y+b_i+b_j$，肯定也是成立的，而这就是我们最开始推导的那一个式子

就是说，我们按照这种排序规则排序后，最开始的式子就能够被推导出来，就不会出现交换相邻两项出现更优的情况

所以以后遇到这种题，如果是$max(a_1,a_2,a_3,....)\le max(b_1,b_2,b_3,....)$，如果存在$i$和$j$，使得$a_i=b_j$，我们直接消去这两项即可

然后我们根据这个式子排序（注意cmp函数里面不要加等于号，stl的排序都不要加）后模拟即可

但是，有一个很自然的问题：最终的排序一定是最优的吗？

就是说，最优排序一定满足这个条件，但是满足这个条件的一定是最优排序吗？

答案是否定的

比如下面：

7 3
1 1
1 6

然而还有一种排序也满足条件：

1 1
1 6
7 3

但是前者算出来17，后者算出来12

怎么解决？

首先明白一个定理：任何一个序列都可以通过有限次邻项交换变成任何另一个序列

我们这个时候回到国王游戏这一道题目

这一道题目按照$a_i\times b_i\le a_{i+1}\times b_{i+1}$排序，那么中间会存在一些乘积相等的数（就是这个序列被分成了若干个块，每个块之间的乘积严格递增，但是块内的乘积相等），那么最优答案不可能会在块之间进行交换，因为答案会变差（当然最优序列也必须满足以上条件，就是说如果想通过交换邻项去得到更优的情况，一定是在块内交换的），然而在块内交换，由于乘积都相等，每一次交换答案都不变，所以我们任意找一个满足条件的序列就可以了

我们思考一下上面的排序有何特殊的地方：每一个关键字都只跟自身元素有关，而不是像⑤式一样跟前后两项都有关

就是说，如果关键字只跟自身有关，那么排序后关键字肯定就具有传递性，在同一块内任意交换，由于具有传递性，就会导致答案不变，所以任何一个序列都满足题目

这里传递性主要是去满足接下来说的“消除逆序对”。我们通过邻项交换证明出来一个不等式，如果这个不等式没有被满足，就是存在“逆序对”

那么回到皇后游戏，我们要想办法把⑤式变成只跟自身有关的式子，由于只跟自身有关系，所以我们按照每个大臣$a$和$b$的大小进行讨论

一旦当我们按照上述方法排序后，这个序列是满足⑤式的，每个块中（一共有三个组，每个组里面有若干个块）任意交换都不会改变答案（也可以证明块间交换答案不会更优）

比如在第一组内，交换$i$和$i+1$，其中$a_i=a_{i+1}$

设$d=max(c_{i-1},\sum _{j=1}^i{a}_j)$

交换前：因为$d\ge \sum _{j=1}^i{a}_j,b_i＞a_i$，则有$max(d+b_i,\sum _{j=1}^i{a}_j+a_{i+1})+b_{i+1}=d+b_i+b_{i+1}$

交换后：因为$b_{i+1}＞a_{i+1}=a_i$，则有$max(d+b_{i+1},\sum _{j=1}^i{a}_j+a_{i+1})+b_i=d+b_i+b_{i+1}$

所以前后不变

最后还有一些想说的

我们最开始化出来的⑤式，其实是不能保证最优结果一定符合的，因为这个式子不只是跟自身元素有关，我们只能说明如果不符合这个式子，我们交换后结果不可能变差，然而也可能不会变好，然后我们经过无限次交换都不能消除这个逆序，这完全是可能的

然而通过这个式子，我们推导出了最后的排序方案，这个方案只跟自身元素有关了，于是，我们就可以统计逆序对，这题的逆序对定义为：若$i＜j$且$i$的大组$>j$的大组或者$i$和$j$是同一个组但是两者不符合组内的排序条件，那么$(i,j)$就是一个逆序对

我们先来考虑最优答案会不会存在有关大组的逆序对，也就是说，我们给每个人分组，$a<b$的是第一组，$a=b$的是第二组，$a>b$的是第三组，假设我们已经获得了一个最优的排序了，这个排序是不可能存在大组编号逆序对的（比如$i<j$且$i$的大组$>j$的大组，光看大组编号的话，这个逆序对关系显然具有传递性，因为组的编号也只跟自身$a$和$b$的相对大小有关，于是有逆序对就一定有相邻逆序对，即$i$的大组$>i+1$的大组，我们交换$i$和$i+1$就可以消除一个大组逆序对，可以证明答案不会变差）

经过上面的分析，最终的最优答案一定不会包含大组逆序对，我们再对每个大组进行排序，通过类似分析也可以消除剩下的逆序对（这个逆序对就不是大组逆序对了，因为前面大组逆序对已经被消除了，这个逆序对是$i$和$j$是同一个组但是两者不符合组内的排序条件的逆序对，很显然这个逆序对也有传递性，因为此时第一维$a$已经固定了，我们只用看与自身有关的第二维$b$就好了），从而得到最终的序列（注意最终的序列在块内随意交换答案都不变了，所以我们随便找一个最终的序列就好了，这一定是最优的序列）

为什么我们最开始要以$a$和$b$的相对大小作为划分依据呢？应该是经验吧，而且此时注意，这样一定会分出大组，对于其他类似的题目，我们都像上面这样分析，即先考虑消除大组逆序对，再考虑消除组内逆序对

我们再回头看看国王游戏，如果已经找到了一个最优方案而且这个最优方案有逆序对，那么可以通过相同的方法消除所有逆序对来得到一种最优方案

所以总结一下这类题目：给你一个序列，每个元素有若干个属性，让你对这个序列任意排序，使得最大量最小或者最小量最大，那么就可以通过领项交换先得出一种最优式子，如果这个式子与前后两项有关（比如皇后游戏），想办法化作只与自身有关，然后就可以利用逆序对的传递性来解决问题了

update 2024.7.21

重新做的时候做出来了，但是解释新发现了一个疑问（幸好立马解决了）：这里列式子只考虑了邻项，但是后面的$c$也可能会因为前面的$c$的变化而变化，为什么不用考虑？实际上，显然对于后面的$c$来说，前面的$c$越小越好，所以我们最后搞出来了一个充分条件，让$c$尽量小就好了

前面说的可以去掉$y+b_i+b_j$，实际上就是在找充分条件。数学上进行消元找的都是充要条件，但是这里我们做题只用找出充分条件。当然有些时候消掉相同项也不是说就能找出充分条件了，但是我们可以这么尝试一下，如果能够尝试出来，就可以通过消掉相同项化简