第K短路

首先证明那个比较显然的推论

我们先证明一下一个小引理：搜索树边权（也是后继的代价减去前驱的代价）非负的优先队列BFS先出队的点一定比后出队的点的代价小或等于

用数学归纳法，假设前面已经出队的点满足以上性质，之前最后一个出队的点为$x$，现在队列里面的队首是$y$，那我们就是要证明$x$的代价比$y$小或等于

我们考虑一下$y$是怎么来的

如果$y$是由$x$扩展来的，那么由于搜索树边权非负，所以结论得证

如果$y$不是由$x$扩展而来的，那么之所以$y$比$x$后出队，就是因为$y$的代价大于等于$x$，所以结论也得证

然后我们考虑反证，假设$x$这个点已经第$i$次被取出了，由以上推论那么这一条路径显然至少是第$i$短路

如果这条路径不是第$i$短路，那么我直接让这个队列扩展无穷次，第$i$短路一定会出现，而且出现在这一条路径的后面

与推论矛盾，所以蓝书推论得证

然后我们考虑用A*优化这一个优先队列BFS，估价函数就像蓝书这么设计

很巧的一件事情是，这么设计后，不会出现上一篇博客说的那种特殊情况，就是仍然满足P126说的这个推论

我们考虑一下什么BFS才满足我们上面证明的引理：搜索树上的边权非负且是优先队列BFS

这里的A*是基于优先队列的，没问题

那么这个A*的搜索树边权非负吗？是的，下面是证明

考虑搜索树上的一个点$x$，在有向图中有一条边$(x,y,w)$，其中$w$是题目给的有向图的边权

由最短路定义可得$f_x\le f_y+w$

所以$dist+f_x\le dist+w+f_y$

而上式前者是$x$的代价，后者是$y$的代价

所以搜索树上的边权（即$y$的代价减去$x$的代价）非负，也满足这个引理

但是注意，我们的引理说的“代价”二字指的是节点的状态代价，在这里的A*中，是第$i$短路的长度加上最短路长度，所以我们还有下述论证

对同一个点取出了$i$次，那么第$i$次一定是第$i$短路，因为对于同一个点估价函数是相同的，不同的状态代价减去相同的估价函数，也就是第$i$短路