国王的任务

以下考虑完备匹配（非完备匹配要用到网络流）

给定一张二分图，其最大匹配方案不一定是唯一的。若边$(x,y)$至少属于一个最大匹配的方案，则称$(x,y)$为二分图匹配的可行边

以下证明假设我们已经求出了一个最大匹配

在完备匹配时，一条边$(x,y)$是可行边，当且仅当满足以下两个条件之一：

1.在当前这个完备匹配的状态下，$(x,y)$是匹配边

2.在当前这个完备匹配的状态下，$(x,y)$是非匹配边。设当前$x$与$u$匹配，$y$与$v$匹配，那么连接$(x,y)$后，$u$和$v$失去匹配，能找到一条从$v$到$u$的增广路

充分性显然

必要性。利用反证，假设$(x,y)$是非匹配边。由于$(x,y)$是可行边，所以存在一种完备匹配的方案包含$(x,y)$；我们将原图中$x,y$以及与$x,y$相关联的边全部去掉，那么这个新图的最大匹配也一定是完备匹配（至少包含$(x,y)$的完备匹配方案去掉$(x,y)$这条边就满足条件）。我们对这个新图跑匈牙利，将$u,v$放在最后跑。由条件，在原图中都不能找到$v$到$u$的增广路，删边之后肯定更不存在$v$到$u$的增广路了，于是这个新图的最大匹配就不是完备匹配，矛盾，所以$(x,y)$是可行边

如果我们把二分图中的非匹配边看作从左部到右部的有向边，把二分图中的匹配边看作从右部到左部的有向边，构成一张新的有向图，那么原图中从$x$到$y$有增广路等价于新图中存在从$x$到$y$的路径。这一个用充分必要性证明就可以了，比较简单

因此，可行边的判定条件是：$(x,y)$是原图的匹配边，或者$x$和$y$两点在新图中属于相同的SCC