对匈牙利算法的一些解释

首先看蓝书上的代码

为什么即将开始dfs时，没有一开始就把$vis[i]$标记了？

其实dfs的流程是从左部的一个节点出发，考察右部的一个节点，如果右部的节点已经匹配了，下次dfs直接从这个右部节点的匹配点开始计算，所以vis的标记都是标记的右部节点，左部节点是不用标记的（因为是匹配二分图，只会被访问到一次）

而且对第i个点的dfs中，从右部节点走到左部节点的这个左部节点一定是之前就已经经历过的左部节点，不会是比i还大的左部节点。因为每一次dfs的结果，要么就是没找到增广路，此时第i个点是非匹配点，要么就是找到了增广路了，此时一定会把第i个点和右部的一个节点变成匹配点（路径上其余点都是之前已经确定了的匹配点）

所以左部节点都经历过dfs后，这个图一定没有增广路了。假设有，那么对于这条增广路，设其从左部非匹配节点x出发，终点是右部非匹配节点y，那么在之前的循环循环到x的时候，肯定也考察了这一条路径的，之所以认为这条路径不是增广路，就是因为不是交错路，此时肯定是这条路径中相邻三个点i,j,k（其中i和k是左部节点，j是右部节点）的两条边都是非匹配边，然而在后面j→k这一条路径被标记成匹配边了，这是不可能的，因为以后每次一旦递归到j，就会直接到match[j]去，修改也只会把match[j]改为j前面那个节点，不可能是k

update 2024.8.22

看不懂上面在说什么，这里证明匈牙利算法的正确性

当循环到$i$，我们对$i$做完dfs后，$1$ ~ $i-1$中不可能出现一个点使得其为非匹配点而且重新出现了增广路。假设有，设增广路的起点为$j<i$，那么当我们遍历到$j$的时候，之所以没有遍历这么一条路，肯定是因为其不是增广路，也就是说这条路上存在三个相邻的点$p,q,r$（其中$p,r$是左部点，$q$是右部点），$\text{match}[q]\ne r$；而我们循环到$i$的时候，$\text{match}[q]$又等于$r$了，这就说明中间一定有一次增广路经过了$(r,q)$这条边而且此时这条边为非匹配边；那么这一次寻找，就下来就会直接跳到$\text{match}[q]$并且寻找到一条增广路；那么我们也应该在循环到$j$的时候，dfs时到了$q$直接跳到$\text{match}[q]$并找到一条增广路，从而矛盾

MD感觉还是不严谨，服了，都学了三次了真的证不出来了