ACwing 334 K匿名序列

首先这道题很容易发现如果已经知道了最后的答案序列，那么操作顺序是无所谓的

所以我们可以假设从头操作到尾

由于题目给的是非严格递增序列，我们猜想最后的答案一定是一段一段的，段与段之间单调递增

比如1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 5 5

反证：如果最终的答案序列存在$a_i$和$a_j$，其中$i＜j$且$a_i＞a_j$，那我们让$a_i$变成$a_j$，$a_j$变成$a_i$，则改变后的序列仍然符合题意而且总操作次数要么不变要么变小，所以最终的答案序列没有逆序对

这样就简单了，我们设$f_i$表示前$i$个数字的最小操作次数，考虑最后一个数字最终会变成什么样，由题，每一段的大小是大于等于k的

所以有$$f_i=mi{n}_{j=k}^i(f_{i-j}+\sum _{k=i-j+1}^i(a_k-a_{i-j+1}))$$

这里运用了一个小贪心：每一段的最开始的数字一定不会变化，变化了肯定没有不变化优

拆开后发现$i-j$不好看，为了符合习惯，让$m=i-j$

于是有$$s_m-f_m-m\cdot a_{m+1}=-i\cdot a_{m+1}-f_i+s_i$$

这里发现斜率是负数，而且绝对值越来越大，不能运用让队头出队，必须要运用二分查找

然而，这个时候我们只需要将原式取反就迎刃而解了：

$$-s_m+f_m+m\cdot a_{m+1}=i\cdot a_{m+1}+f_i-s_i$$

然后就是套模板了

代码有注释，一定要看

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
int t;
int n,k;
ll a[N],s[N],f[N];
int l,r,q[N];
ll F(int x)
{
	return f[x]+x*a[x+1]-s[x];
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<k;i++) f[i]=0x7fffffff;
		//这个初始化一定要有
		//因为当i<k时是不合法的
		//我们不能让之后的状态从这些状态转移过来 
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%lld",&a[i]);
			s[i]=s[i-1]+a[i];
		}
		l=r=1;
		q[1]=0;
		for(int i=k;i<=n;i++)
		{
			while(l<r&&F(q[l+1])-F(q[l])<=i*(a[q[l+1]+1]-a[q[l]+1])) l++;
			f[i]=F(q[l])+s[i]-i*a[q[l]+1];
			while(l<r&&(F(i-k+1)-F(q[r]))*(a[q[r]+1]-a[q[r-1]+1])<=(F(q[r])-F(q[r-1]))*(a[i-k+1+1]-a[q[r]+1])) r--;
			q[++r]=i-k+1;
			//这里放的是i-k+1
			//对应的是博客中的m 
		}
		printf("%lld\n",f[n]);
	 } 
	return 0;
}

然而第二遍做的时候还发现了一个新思路，从左往右考虑这个序列，如果某一段的个数符合题意，那么直接跳过，如果某一段的个数比题意少，那么要么是把这一段的所有数给减到前面一段相同的数字，要么是把紧接着的后面若干个数降到这个数，这里若干个数就是$k-$这一段的个数，然后用记忆化搜索进行实现就可以了

但是不知道这个思路是否正确

update 2024.9.10

主要就是提醒一下自己，脑子别犯浑了，负数斜率直接取相反数就好了