异象石

首先我们抽象一下这道题的模型，然后把引理记住

模型：对于一棵树上选定的一些点，把他们连通起来的最小边数

我们先考虑一种朴素做法，对于任何一种方案，任取其中两个点，那么这个方案一定包含这两个点之间的路径

就是说，我们依次添加每个点，对于每一个新添加进来的点，让这个点与其已经添加的点求路径，然后把路径上每条边染色一次，最后有多少条边被染色就证明这些边都是必须要要的，另一方面，把这些边选上一定连通，所以最小的方案是唯一的（这里的思路也就是找下界，并证明下界的合理性）

下面证明引理

首先，对于两个点，引理显然成立

假设对于n个点的时候引理成立，下面证明n+1个点的时候引理也成立

我们这么考虑这n+1个点，添加顺序是按照各个点的dfn顺序来添加的，所以最后一个添加的点一定是dfn最大的

假设第n+1个点是第n个点的子节点，那么此时我们已经添加完n个点的时候，根据朴素做法，我们选的边是唯一的，加入第n+1个点时，我们计算其余点与这个第n+1的点的路径时，一定都是第n+1号点先到第n号点，然后再从第n号点到其他点，然而从第n号点到其他点的路径已经都被染色了，就没必要考虑了，所以最后新的被染色的边就是第n+1号点先到第n号点这条路径，稍微计算就可以知道引理成立

假设第n+1个点不是第n个点的子节点，那么见下图

访问dfn一定是先访问红色部分，在访问n及其子树，再访问蓝色部分

而且红色部分是从上往下，蓝色部分是从下往上

那么此时第n+1号节点只能在蓝色部分，那么按照第n+1个点是第n个点的子节点的方法进行计算也会发现引理成立

综上，引理证毕

以后DFN的计算就可以这么考虑，分成像上面这幅图的三部分

update 2024.5.27

其实上面构造连通起来的最小边数的过程也就是这道题目所要求的极大连通子树

所以本题也可以拓展成有多个关键点并且支持动态删除的情况