picnic planning证明

设 \(r=1\)，边权记为 \(w(e)\)。删除顶点 \(r\) 后，图被分成 \(t\) 个连通块

\[C_1,C_2,\ldots,C_t. \]

下面证明算法正确：

一、可行性的判定

任取原图的一棵生成树 \(\mathcal T\)。每个连通块 \(C_i\) 都必须通过至少一条与顶点 \(r\) 相连的边接入生成树。

因此

\[\deg_{\mathcal T}(r)\ge t. \]

所以若 \(t>S\)，任何生成树中顶点 \(r\) 的度数都超过 \(S\)，问题无解。

下面只考虑 \(t\le S\) 的情况。

二、初始生成树是度数恰为 \(t\) 时的最优解

对每个连通块 \(C_i\)：

1. 在 \(C_i\) 内部求一棵最小生成树 \(F_i\)；
2. 选择所有连接 \(r\) 与 \(C_i\) 的边中权值最小的一条 \(e_i\)。

令

\[\mathcal T_t=\bigcup_{i=1}^{t}F_i\ \cup\ {e_1,e_2,\ldots,e_t}. \]

它是生成树。因为每个 \(C_i\) 内部连通，并且通过一条边与 \(r\) 相连；其边数为

\[\sum_{i=1}^{t}(|C_i|-1)+t =(N-1)-t+t=N-1. \]

同时

\[\deg_{\mathcal T_t}(r)=t. \]

现在证明它是所有满足 \(\deg(r)=t\) 的生成树中权值最小的。

任取一棵满足 \(\deg_{\mathcal T}(r)=t\) 的生成树。每个 \(C_i\) 至少需要一条边连接到 \(r\)，总共又只有 \(t\) 条与 \(r\) 相连的树边，因此每个 \(C_i\) 恰好使用一条这样的边。

于是：

• \(\mathcal T\) 在 \(C_i\) 内部必须是一棵生成树，其权值不小于 \(F_i\)；
• \(C_i\) 与 \(r\) 相连的边权不小于 \(e_i\)。

所以

\[w(\mathcal T) \ge \sum_{i=1}^{t}w(F_i)+\sum_{i=1}^{t}w(e_i) =w(\mathcal T_t). \]

故 \(\mathcal T_t\) 是度数恰为 \(t\) 时的最优生成树。

三、一次换边的含义（要看，下面的符号需要了解）

假设当前生成树为 \(\mathcal T_k\)，且

\[\deg_{\mathcal T_k}(r)=k. \]

考虑一条尚未进入生成树的边

\[e=(r,x),\qquad w(e)=z. \]

把 \(e\) 加入生成树后，会形成唯一的环：

\[e+P_{\mathcal T_k}(r,x), \]

其中 \(P_{\mathcal T_k}(r,x)\) 是树中从 \(r\) 到 \(x\) 的路径。

为了使 \(r\) 的度数从 \(k\) 增加到 \(k+1\)，必须从这个环中删除一条不与 \(r\) 相连的边。固定 \(e\) 后，显然应删除其中权值最大的非 \(r\) 关联边，记为 \(f_e\)。

定义这次换边能够减少的权值为

\[\Delta(e)=w(f_e)-w(e). \]

换边后的权值为

\[w(\mathcal T_k-f_e+e) =w(\mathcal T_k)-\Delta(e). \]

因此算法每次选择使 \(\Delta(e)\) 最大的边，正是在所有一次增加顶点 \(r\) 度数的换边中，选择权值下降最多的一次。

关键还需证明：这种局部最优换边会得到度数为 \(k+1\) 时的全局最优解。

四、用参数化边权证明贪心换边的正确性

给所有与 \(r\) 相连的边统一增加一个参数 \(\lambda\)。定义新边权

\[w_\lambda(e)= \begin{cases} w(e)+\lambda,&e\text{ 与 }r\text{ 相连},\\ w(e),&\text{否则}. \end{cases} \]

对任意生成树 \(\mathcal T\)，有

\[w_\lambda(\mathcal T) =w(\mathcal T)+\lambda\deg_{\mathcal T}(r). \]

因此，如果某棵度数为 \(k\) 的树 \(\mathcal T_k\) 是新边权 \(w_\lambda\) 下的最小生成树，那么它一定是原边权下度数恰为 \(k\) 的最优生成树。这是因为对另一棵同样满足度数为 \(k\) 的树 \(\mathcal T\)，有

\[w(\mathcal T_k)+\lambda k \le w(\mathcal T)+\lambda k, \]

消去 \(\lambda k\) 后得到

\[w(\mathcal T_k)\le w(\mathcal T). \]

初始情形

当 \(\lambda\) 足够大时，使用与 \(r\) 相连的边会受到很大的额外惩罚，所以最小生成树会首先使 $\deg(r) 尽可能小。

顶点 \(r\) 的最小可能度数为 \(t\)，而前面已经证明 \(\mathcal T_t\) 是度数为 \(t\) 时权值最小的树，因此对于充分大的 \(\lambda\)，\(\mathcal T_t\) 是 \(w_\lambda\) 下的最小生成树。

降低参数 \(\lambda\)

假设当前树 \(\mathcal T_k\) 在参数值 \(\lambda_0\) 下是最小生成树。令

\[\delta_k=\max_{e=(r,x)\notin\mathcal T_k}\Delta(e). \]

下面证明在区间

\[\delta_k\le\lambda\le\lambda_0 \]

内，\(\mathcal T_k\) 还是最小生成树。

先证明：随着 \(\lambda\) 的减小，最小生成树的度数是非下降的。

设参数化目标为

\[\Phi_\lambda(T)=w(T)+\lambda\deg_T(r). \]

若 \(\lambda_1<\lambda_2\)，分别取最优树 \(T_1,T_2\)，由最优性有

\[\Phi_{\lambda_1}(T_1)\le \Phi_{\lambda_1}(T_2), \qquad \Phi_{\lambda_2}(T_2)\le \Phi_{\lambda_2}(T_1). \]

两式相加可以得到

\[(\lambda_2-\lambda_1) \bigl(\deg_{T_2}(r)-\deg_{T_1}(r)\bigr)\le 0, \]

因此

\[\deg_{T_2}(r)\le \deg_{T_1}(r). \]

证毕。

当\(\lambda<\lambda_0\)的时候，考虑两种可能的情况：度数不变和度数增大。

对于度数不变的情况，\(\lambda\)的变化不会影响生成树的排序。也就是说，如果在\(\lambda\)的时候，\(\mathcal T\)是MST，那么在\(\lambda_0\)的时候，\(\mathcal T\)也应该是MST，但是现在\(\mathcal T_k\)才是

对于度数增加的情况，比较复杂。

首先，设边权为任意固定的 \(c(e)\)，\(T\) 是一棵生成树。对于每条非树边 \(e\notin T\)，将其加入 \(T\) 后形成唯一环 \(C_T(e)\)。

如果对所有

\[e\notin T,\qquad f\in C_T(e)\cap T \]

都有

\[c(e)\ge c(f), \tag{1} \]

那么 \(T\) 是全局最小生成树。反之亦然。于是，任取另一棵生成树 \(T'\)，取一条

\[f\in T\setminus T'. \]

（如果）删除 \(T\) 中的 \(f\)，顶点集被分为两个部分 \(A,B\)。因为 \(T'\) 是生成树，它必须至少有一条边 \(e\) 跨越\(A\)和\(B\)。

而且显然可以选到

\[e\in T'\setminus T. \]

由于 \(e\) 跨越 \(A,B\)，所以在 \(T\) 中，\(e\) 两个端点之间的唯一路径必然经过 \(f\)。也就是说，

\[f\in C_T(e). \]

由条件 (1)，

\[c(e)\ge c(f). \]

现在从 \(T'\) 中删除 \(e\)，加入 \(f\)：

\[T''=T'-e+f. \]

显然 \(T''\) 仍然是一棵生成树，并且

\[c(T'')=c(T')-c(e)+c(f)\le c(T'). \]

同时，\(T''\) 与 \(T\) 的公共边比 \(T'\) 至少多一条。

不断重复这一过程，最终可以把 \(T'\) 变成 \(T\)，并且每一步权值都不增加。

现在把上述过程应用到参数权值

\[c_\lambda(e)=w(e)+\lambda\chi(e), \]

其中

\[\chi(e)= \begin{cases} 1,&e\text{ 与顶点 }1\text{ 相连},\\ 0,&\text{否则}. \end{cases} \]

设当前树 \(T\) 在 \(\lambda_0\) 下是 MST。于是对所有基本换边 \(T-f+e\)，都有

\[c_{\lambda_0}(e)-c_{\lambda_0}(f)\ge 0. \tag{2} \]

当 \(\lambda\) 减小时，分三类看。

如果 \(e,f\) 同为根边或同为非根边，则

\[c_\lambda(e)-c_\lambda(f)=w(e)-w(f), \]

与 \(\lambda\) 无关，所以原来非负，以后仍然非负。

如果 \(e\) 是非根边、\(f\) 是根边，则

\[c_\lambda(e)-c_\lambda(f) =w(e)-w(f)-\lambda. \]

当 \(\lambda\) 减小时，这个差反而增大，所以也不会出现改善。

唯一可能变得有利的是：

\[e\text{ 是根边},\qquad f\text{ 是非根边}. \]

此时

\[c_\lambda(e)-c_\lambda(f) =w(e)-w(f)+\lambda. \]

定义

\[\lambda^*=\max_{\substack{ e\notin T,\ e\text{ 为根边}\\ f\in C_T(e),\ f\text{ 为非根边} }} \bigl(w(f)-w(e)\bigr). \]

只要

\[\lambda\ge \lambda^*, \]

对于所有这种交换都有

\[w(e)-w(f)+\lambda\ge 0. \]

结合前两类交换可知，在

\[\lambda^*\le\lambda\le\lambda_0 \]

内，任何一次基本换边都不能降低权值。

再使用之前那个过程，就得到全局结论：

\[\boxed{ T\text{ 在整个区间 } [\lambda^*,\lambda_0] \text{ 内始终是一棵 MST。} } \]

综上，证毕。于是根据最小生成树的环交换性质，\(\mathcal T_k\) 在这整个区间内仍然是最小生成树。

当

\[\lambda=\delta_k \]

时，取达到最大值的边 \(e_k\)，有

\[w_{\delta_k}(e_k)=w_{\delta_k}(f_{e_k}). \]

所以进行换边

\[\mathcal T_{k+1} =\mathcal T_k-f_{e_k}+e_k \]

后，新树与旧树在 \(w_{\delta_k}\) 下权值相同。旧树是最小生成树，因此新树也是最小生成树。

同时

\[\deg_{\mathcal T_{k+1}}(r)=k+1. \]

根据参数边权的性质，\(\mathcal T_{k+1}\) 就是原边权下所有度数恰为 \(k+1\) 的生成树中的最优解。

由归纳法，算法依次得到的

\[\mathcal T_t,\mathcal T_{t+1},\ldots \]

分别是对应固定度数下的最优生成树