对期望线性性的理解以及例题：洛谷P3239

$E(X+Y)$中$X+Y$到底什么意思？

我们不妨设$X$对应事件1，他有一个样本空间${\mathrm{\Omega }}_1$，这个样本空间中的每一个事件对应一个取值

同理我们对$Y$也搞一个${\mathrm{\Omega }}_2$。

那么$X+Y$指的就是$X$和$Y$的笛卡尔积

两个集合的笛卡尔积指的是从这两个集合分别各取一个元素的所有可能的不重复的不考虑顺序的组合（注意这里不考虑顺序指的是事件顺序不考虑，比如$(e_1,e_2)$和$(e_2,e_1)$是同一种组合，其中$e_1$是$X$中的事件，$e_2$是$Y$的事件，但两者的映射值可能相同）

然后就可以推广到$aX+bY$

我们拿抛骰子举例子（就是蓝书那上面的抛两次骰子）

此时$X$==$Y$

$X$的样本空间为{1,2,3,4,5,6}（这里我们已经完成了映射，以映射值代替实验结果）

那么$X+X$==$2X$的样本空间就是{{1,1},{1,2},{1,3} ... {2,1},{2,2} ... {6,6}}，一共三十六种

然后$E(aX+bY)$就是说

$aX+bY$这个新的事件的样本空间中的所有可能的组合，每个组合一共由$a+b$个映射值组成，设它们的和是sum，那么$E(aX+bY)$=每个组合的sum乘以这个组合的概率再将所有的组合的结果求和

//想一下，所有组合的概率与各个单独的实验的概率有什么关系（这是还没想的问题）

这样我们只要设计出合适的映射函数就可以利用线性性来简化解题了（实际上映射函数根本不难设计）

那么对这个抛骰子的实验就可以解释了。这个实验的映射函数就是抛出了几点，对应的映射值就是几

那么正常的期望应该这么算：设某个结果为$a,b$，其中$a,b$都在1-6之间，那么$E(2X)=\sum P(a,b)\ast (a+b)$（显然任意一个$P$都是$\frac{1}{36}$）

利用线性性：$E(2X)=2E(X)$，然后就直接得出结果了

注意即使$X$对$Y$有影响也没有什么。比如抽奖，一个人先抽，后抽的人就没有办法抽到第一个人抽中的东西，但是无所谓，我们只要按照题目给的意思，把第二个人抽奖的所有可能给弄出来，然后算第一个人和第二个人抽奖的期望也可以按照线性性算的

对以上说法的严谨定义（转自这篇博客的评论）

从上面严格的定义中我们可以得出一个结论：如果我们现在在做一个实验，这个实验可以分解成若干个子实验，我们可以对这个实验定义若干个随机变量（每个随机变量都是一个函数），每一个随机变量代表这个实验的某个子实验，只要我们定义的随机变量符合题意，题目的要求求的期望，就可以转换为在原实验的情况下，每个子实验的期望然后加起来就好了

比如掷骰子，假设掷两次，那么样本空间可以表示为第一次的结果和第二次的结果的笛卡尔积，随机变量$X_1$表示第一次投掷的值（这是子实验的特征，但是$X_1$的自变量还是第一次的结果和第二次的结果的笛卡尔积），规定$X_1$的值为第一次的点数，同理定义$X_2$，那么原实验的一个样本点就可以表示成{$X_1(e),X_2(e)$}，其中$e$是原实验的一个结果。题目要求计算的两次点数之和的期望就是每个样本点的$X$之和乘以其概率，这个时候就可以转化为在原实验的每个事件下，$X_1$的期望和$X_2$的期望，比如$X_1$，原实验一共有$36$个样本点（注意这个时候不要认为只有$6$个样本点），每个样本点的概率乘以这个样本点中$X_1$的值加起来就是$X_1$的期望；$X_2$同理计算。正确性也不难证明

以后要求固定一个实验结果的样式？

例题（见标题）

那么这一道题我们很容易想到按照题目说的从轮数去思考，设$g[i][j]$表示第i轮用j号牌的概率，那么$E(X)=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{n}g[i][j]d[j]$

但会发现$g$数组推不出来，太难推了，所以我们换一个思考对象，从牌开始思考

于是可以看这篇博客

注意所有的思考方向都要从牌那边去考虑哦

然后这篇博客考虑第二张牌那里用的是条件概率，可以理解一下