屠龙勇士

这就是一道系数不为1的扩展CRT（本来如果保证有逆元的话是可以直接逆元的，但是不保证有逆元）

那么这篇博客的方法可以学习，至于为什么那就是所有的通解，我们先来推导一下普通的excrt为什么那个样子是通解（见蓝书P155）

我们利用数学归纳法，当 $k - 1 = 1$ 时，只有一个方程： $x \equiv a_{1} (m o d m_{1})$ ，当求出一个特解 $x$ 的时候，他的通解就是 $x + i \cdot m_{1}$ ，显然满足

假设对前 $k - 1$ 个方程来说，解集为{ $x_{0} + i \cdot m$ }（其中 $x_{0}$ 是这个解集中的最小正整数），我们来考虑加入第 $k$ 个方程后的通解是多少（假设我们从解集中任选一个解 $x_{1}$ ）

显然通解就是 $x_{1} + t \cdot m \equiv a_{k} (m o d m_{k})$ 的通解，注意 $x_{1}$ 是已知数，故转化为线性方程 $t \cdot m + m_{k} \cdot y = a_{k} - x_{1}$ ，那么 $t$ 的通解就是 $t + i \cdot \frac{m_{k}}{g c d (m, m_{k})}$ ，而我们有 $g c d \cdot l c m = a \cdot b$ ，故写成 $t + i \cdot \frac{l c m (m, m_{k})}{m}$ ，代入通解有 $x_{1} + m t + i \cdot l c m (m, m_{k})$ ，那么通过 $x_{1}$ 求出来的解集就是{ $x_{1} + m t + i \cdot l c m (m, m_{k})$ }

对于前 $k - 1$ 个方程的解集中的两个解 $x_{1}, x_{2}$ （假设 $x_{1} < x_{2}$ ），分别求出前 $k$ 个方程的解集为{ $x_{1} + m t_{1} + i \cdot l c m (m, m_{k})$ }和{ $x_{2} + m t_{2} + j \cdot l c m (m, m_{k})$ }；我们有 $x_{1} + m t_{1} \equiv a_{k} (m o d m_{k})$ 和 $x_{2} + m t_{2} \equiv a_{k} (m o d m_{k})$ ，所以 $x_{2} - x_{1} + m (t_{2} - t_{1}) \equiv 0 (m o d m_{k})$ ，就是说 $x_{2} - x_{1} + m (t_{2} - t_{1})$ 是 $m_{k}$ 的倍数，而显然 $x_{2} - x_{1}$ 是 $m$ 的倍数（因为 $x_{1}, x_{2}$ 都是前 $k - 1$ 个方程的一个通解），所以 $x_{2} - x_{1} + m (t_{2} - t_{1})$ 是 $m$ 的倍数，也就是说 $x_{2} - x_{1} + m (t_{2} - t_{1})$ 是两者的公倍数，由于公倍数是最小公倍数的倍数（复习一下，这个定理从质因数分解之后取max理解），所以 $x_{2} - x_{1} + m (t_{2} - t_{1})$ 是最小公倍数的倍数，进而可以得到任意取出的解所求出的新的解集是一样的，也就证明完毕了

这道题目也尝试证明一下

稳妥一点的方法是什么？

首先列出所有不定方程，然后对每一个方程化成线性同余方程后解出一个特解 $x_{i}$ ，那么这个方程的通解就是 $x_{i} + k \cdot \frac{p_{i}}{g c d (p_{i}, b_{i})}$ ，设最终答案为 $x$ ，那么就可以列出新的若干个不定方程 $x \equiv x_{i} (m o d \frac{p_{i}}{g c d (p_{i}, b_{i})})$