基于值域的快速GCD

这其实是一道洛谷模板题，题目是5435

对预处理的讲解可以看看这个博客（代码看自己的，见下）

void getprime()
{
	for(int i=0;i<=2;i++) fac[1][i]=1;
	for(int i=2;i<=N-10;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++tot]=i;
			fac[i][0]=fac[i][1]=1;
			fac[i][2]=i;
		}
		for(int j=1;j<=tot;j++)
		{
			if(prime[j]>v[i]||(ll)i*prime[j]>N-10) break;
			int tmp=i*prime[j];
			v[tmp]=prime[j];
			fac[tmp][0]=fac[i][0]*prime[j];
            fac[tmp][1]=fac[i][1];
            fac[tmp][2]=fac[i][2];
            if(fac[tmp][0]>fac[tmp][1]) {
            fac[tmp][0]^=fac[tmp][1]^=fac[tmp][0]^=fac[tmp][1];
            }
            if(fac[tmp][1]>fac[tmp][2]) {
            fac[tmp][1]^=fac[tmp][2]^=fac[tmp][1]^=fac[tmp][2];//这个操作就是升序排序
            }
		}
	}
}
void init()
{
	for(int i=0;i<=M-10;i++)
	pre[i][0]=pre[0][i]=i;
	for(int i=1;i<=M-10;i++)//M是值域开根号
	for(int j=1;j<=i;j++)
	pre[i][j]=pre[j][i]=pre[j][i%j];
}

那么这篇博客对查询的讲解不太细致，其实就是用到一个定理

$gcd(a\times b\times c,y)=gcd(a,y)\times gcd(b,\frac{y}{d_1})\times gcd(c,\frac{y}{d_1{d}_2})$，其中$d_1=gcd(a,y)$，$d_2=gcd(b,\frac{y}{d_1})$

这个定理的证明暂时不详，有机会可以了解

但是查询时一定要注意，某一次的x可能是质数，此时想的分解为1,1,x，那么这个时候就别用预处理的数组了，可能会超出范围，这个时候特判即可，代码见下

int gcd(int a,int b)
{
	int d1,d2,d3;
	d1=pre[fac[a][0]][b%fac[a][0]];
	b/=d1;
	d2=pre[fac[a][1]][b%fac[a][1]];
	b/=d2;
	if(v[fac[a][2]]==fac[a][2])
	{
		if(b%fac[a][2]==0) d3=fac[a][2];
		else d3=1;
	}
	else d3=pre[fac[a][2]][b%fac[a][2]];
	return (ll)((ll)d1*d2)%p*d3%p;
}