对最终测试期望模型的解释

假设对于第$i$个人，他的成绩已经定了下来，为$g_i$，概率为$P_i$

剩下的所有人排成一行，信息如下

分数比$g_i$大的概率：$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $k_1$ $$ $$ $$ $k_2$ $$ $$ $$ $$ $k_3$ ... $$ $$ $$ $k_{n-1}$
分数小于等于$g_i$：$$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $1-k_1$ $1-k_2$ $1-k_3$ ... $1-k_{n-1}$

显然样本点由这$n-1$个人组成，设第一个人为$k_1$的样本点集合为$S$

后面显然有$2^{n-2}$种样本点（每个人要么分数大于$g_i$，要么小于等于）。所以集合$S$的大小就是$2^{n-2}$（这$2^{n-2}$个样本点前面放上$k_1$组成$S$）

假设这$2^{n-2}$个样本点（不算第一个人），每种的概率为$p_i$，有$x_i$个人比$g_i$大

那么算上第一个人（此时第一个人的分数比$g_i$高），每种的概率为$k_1\times p_i$，有$x_i+1$个人比$g_i$大

算上第一个人（此时第一个人的分数比$g_i$低或等于），每种的概率为$(1-k_1)\times p_i$，有$x_i$个人比$g_i$大

那么上面就是$S$的所有样本点

那么对于第$i$个人来说，他的期望排名（按照期望计算的定义，不用太复杂）在此人成绩为$g_i$时为每个样本点的权值（有多少个人比$g_i$大）乘以此样本点的概率之和加一

化简之后易得为$k_1+\sum _{i=1}^{2^{n-2}}{p}_i\times x_i+1$

那么对于$\sum _{i=1}^{2^{n-2}}{p}_i\times x_i$采取同样的方式计算，将所有人计算完，则可得为$\sum _{i=1}^{n-1}{k}_i+1$

那么在对第$i$个人得不同成绩的情况分别计算，乘以概率即可得到数学期望排名