思维过程

首先满足奇数位递增这个条件

显然有且只有从$2n$个数中取$n$个数，即$C_{2n}^n$，就能满足这个条件

在满足这个条件之后，剩下了$n$个数，显然顺序不能变

举个例子$n=3$

那么假设取出了$1$ $2$ $5$

那么剩下三个数的顺序只能是$3$ $4$ $6$，不能是其他的如$4$ $6$ $3$或者$6$ $4$ $3$

所以现在就剩下最后一个条件需要满足

其实这里已经能看出来卡特兰数的影子了

将最开始取出的$n$个数变为$1$，剩下的数位$0$

显然在任意位置$0$的前缀和必须比$1$少（反证法证明）

另一方面在任意位置$0$的前缀和必须比$1$少的数列显然满足最后一个条件

所以是卡特兰数