对七夕祭每一维一定有合法操作的证明

设通过环形均分纸牌算出来的数组$p$，$p[i]$表示第$i$个人给第$i+1$个人的纸牌个数（负数为接受纸牌）

对于这一特定的数组，不妨从$1$开始向$n$进行操作。假设第一次遇到了无法进行交换的情况，我们假设$p[i]>0$，此时我们先找出$i$和$i+1$一一对应的点（也就是行数相同的点），设有$x$个，除去这些点之后，$i$还有$y$那个点，那么此时一定有$y<p[i]$

若$p[i+1]$为$0$，则不存在这种情况，因为此时有$x+y-p[i]=x+p[i]=average$，即$y=2p[i]$，显然矛盾

若$p[i+1]$小于$0$，则$y>p[i]$（即命题不成立），因为此时有$x+y-p[i]=x+p[i]-p[i+1]=average$，即$y+p[i+1]=2p[i]$，显然矛盾

若$p[i+1]$大于$0$，则先交换$p[i+1]$，在交换$p[i]$，先交换$i+1$的话，就会空出$p[i+1]$个位置，刚好可以交换

我们也就证明了无论怎么排列，我们一定可以通过不经过任何列交换的情况下，将行搞成一模一样的，对列同理，所以我们可以分成两个独立的部分计算