IOI 回文词【DP经典模型】
知识储备:最长公共子序列
问题描述:
回文词是一种对称的字符串——也就是说,一个回文词,从左到右读和从右到左读得到的结果是一样的。任意给定一个字符串,通过插入若干字符,都可以变成一个回文词。你的任务是写一个程序,求出将给定字符串变成回文词所需插入的最少字符数。
比如字符串“Ab3bd”,在插入两个字符后可以变成一个回文词(“dAb3bAd”或“Adb3bdA”)。然而,插入两个以下的字符无法使它变成一个回文词。
输入格式
第一行包含一个整数N,表示给定字符串的长度,3<=N<=5000
第二行是一个长度为N的字符串,字符串由大小写字母和数字构成。
输出格式
一个整数,表示需要插入的最少字符数。
样例输入 1
5
Ab3bd
样例输出 1
2
样例输入 2
3
FFT
样例输出 2
1
分析:
这题对于我来说是一道难题,查了很多博客最后还是在学长的博客下理解到了(学长的题解:http://blog.csdn.net/yanyidu/article/details/79314748)。当然,我肯定要来说说自己的见解(有些地方可能不太严谨,见谅)
做法:将这个字符串翻转(比如将样例1Ab3bd翻装成db3bA),然后算出这两个字符串的最长公共序列,最后输出n-f【n】【n】(题目求的是最少改变多少个字符)
验证此算法的正确性:我们知道回文串就是从左到右读和从右到左读得到的结果是一样的。所以将其翻折后(用样例举例),Ab3bd中的第二个b(从左往右数,后面如无特殊提示都是从左往右计数)对应的是db3bA中的第一个b,然而求最长公共序列的时候,Ab3bd中的第一个b对应的是db3bA中的第一个b,所以Ab3bd中的第一个b和第二个b也就互相对应了,所以无需改变,故此算法正确。细节问题将在代码中标注:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[5001],b[5001];
int f[5001][5001];
int main()
{
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
scanf("%s",a);
int k=0;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
b[k]=a[i];
k++;
}//储存翻折后的字符串
//cout<<k<<""<<b;//这里是用来检查中间结果
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)//这里为什么i,j要从1开始而不是0呢?很简单,从定义上来说,我们定义的是f【i】【j】
//表示A序列中前i个字符和B序列中前i个字符的最长公共序列 ,肯定不用算0吧。从程序上来说,从0开始直接RE因为没有负数组
{
if(a[i-1]==b[j-1])
{
f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
}
else
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
}
}
}
printf("%d",n-f[n][n]);//最后输出
return 0;
}
谢谢大家!