领地选择【前缀和+DP】

题目描述

作为在虚拟世界里统帅千军万马的领袖，小Z认为天时、地利、人和三者是缺一不可的，所以，谨慎地选择首都的位置对于小T来说是非常重要的。

首都被认为是一个占地C*C的正方形。小Z希望你寻找到一个合适的位置，使得首都所占领的位置的土地价值和最高。

输入输出格式

输入格式：
第1行：三个正整数N，M，C，表示地图的宽和长以及首都的边长。

第2∼N+1行：第i+1行包含M个整数，表示了地图上每个地块的价值。价值可能为负数。

输出格式：
一行，两个整数X、Y，表示首都左上角的坐标。

输入输出样例

输入样例#1：复制
3 4 2
1 2 3 1
-1 9 0 2
2 0 1 1
输出样例#1：复制
1 2
说明

对于60%的数据：N、M≤50。

对于90%的数据：N、M≤300。

对于100%的数据：N、M≤1000，C≤min(N，M)。

分析：一看到这题，首先想到的是暴力枚举（即使知道不可以但是条件反射），一看数据范围：1000，O（n^4）显然超时。那么我们来想想暴力枚举为什么超时：首先我们枚举了i，j两行作为起始行和终点行，k，l两列作为起始列和终点列。再仔细思考了一番后我们发现，由于题目说得是c*c的方阵（固定了大小），我们就可以制造一个窗口在上面滑动（看不懂也没关系，不重要），这就代表着j=i+c-1的，于是我们就不用再枚举j。时间复杂度降了一个指数。可是O（n^3）仍然超时啊？考虑继续优化：题目求的是矩阵的和，可以联想到降维前缀和。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
long long a[1001][1001],sum[2001][2001];
inline int read()
{
    int f=1,x=0;
    char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')
    {
        if(s=='-')
        f=-f;
        s=getchar();
    }
    while(s>='0'&&s<='9')
    {
        x=x*10+s-48;
        s=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main()
{
    int n=read(),m=read(),c=read(),i,j,ans=-0x7fffffff,tot,ans1,ans2;//ans初始化为负无穷，因为有可能一个正数也没有
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=read();
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];//sum【i】【j】表示第j列的1到i行所有数的和
        }
    }
    for(i=1;i<=n-c+1;i++)//由于这个矩阵是c*c，所以i<=n-c+1
    {
        j=i+c-1;//j可以随即求出
        tot=0;//初始化
        for(int k=1;k<=c;k++)
        {
            tot+=sum[j][k]-sum[i-1][k];//先计算第一个矩阵的大小
        }
        if(ans<tot)//更新
        {
            ans1=i;
            ans2=1;
            ans=tot;
        }
        for(int k=c+1;k<=m;k++)//枚举接下来的矩阵
        {
            tot-=sum[j][k-c]-sum[i-1][k-c];//优化：减去最左边的
            tot+=sum[j][k]-sum[i-1][k];//加上最右边的
            if(ans<tot)//更新
            {
                ans1=i;
                ans2=k-c+1;
                ans=tot;
            }
        }
    }
    printf("%d %d",ans1,ans2);//输出
    return 0;
}