数列【DP】

题目描述

虽然msh长大了，但她还是很喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，她在纸上写了一串数字：1，l，2，5，4。接着她擦掉了一个l，结果发现剩下l，2，4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。她希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己位置上的数尽量多。她发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不疲地玩起来……不过她不能确定最多能有多少个数在自己的位置上，所以找到你，请你帮忙计算一下！

输入输出格式

输入格式：
第一行为一个数n，表示数列的长度。

接下来一行为n个用空格隔开的正整数，第i行表示数Ai。

输出格式：
一行一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai=i最多能有多少。

输入输出样例

输入样例#1：复制
5
1 1 2 5 4
输出样例#1：复制
3
说明

对于20%的数据，n≤20;

对于60%的数据，n≤100;

对于100%的数据，n≤1000。

分析：首先看数据范围，OK，设计一个O（n^2）的算法。设f【i】表示1到i中满足条件的最大个数。想了一下方程，不对啊，不能完全表示信息，在看一看时间复杂度，那就多加一维吧，f【i】【j】，表示什么呢？我们需要什么信息？删除了多少个数，对吧。所以设f【i】【j】表示1到i中删除j个数满足条件的最大个数。方程不难想到，具体见代码。答案为max（f【n】【k】）（0<=k<=n）。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,a[1010],f[1010][1010];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=f[i-1][0];
        if(a[i]==i)
        f[i][0]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            if(a[j]+i==j)
            {
                f[j][i]=max(f[j-1][i-1],f[j-1][i]+1);
            }
            else f[j][i]=max(f[j-1][i-1],f[j-1][i]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}