最优贸易【最短路】

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市y 之间的双向道路。

输出格式：
输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1： 复制
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
输出样例#1： 复制
5
说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

分析：这题就是从1到n中，选取两个点p和q使得p的权值-q的权值最大。因为最终要到达第n个城市，所以存一个反图，dis2【i】表示从n到i中权值最大的一个点（即在这个城市卖出水晶球，之后可以保证一定能回到n），而从1出发就设置dis1【i】表示从1到i中权值最小的一个点（即在这个城市买回水晶球），最终答案就是max（dis2【i】-dis1【i】）（1<=i<=n）。代码实现有些复杂，最短路也有要稍作修改的地方，这里使用地杰斯特拉（spfa太玄学）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100010],n,m,dis1[100010],dis2[100010];
bool mark[100010];
inline int _min(int a,int b)
{
    if(a<b) return a;
    return b;
}
inline int _max(int a,int b)
{
    if(a>b) return a;
    return b;
}
struct Node
{
    int Num,dis;
    bool operator<(const Node &a) const
    {
        return a.dis<dis;//最短路小于 
    }
};
struct Node1
{
    int Num,dis;
    bool operator<(const Node1 &a) const
    {
        return a.dis>dis;//最长路大于 
    }
};
struct node
{
    int Num,dis;
};
vector<node> G[100010];
vector<node> g[100010];
inline void Dij()
{
    priority_queue<Node> q;
    Node temp;
    temp.Num=1;
    temp.dis=a[1];
    q.push(temp);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().Num;
        q.pop();
        if(mark[u]) continue;
        mark[u]=1;
        for(int i=0;i<G[u].size();i++)
        {
            int v=G[u][i].Num,l=G[u][i].dis;
            if(dis1[v]>_min(l,dis1[u]))//如果这条边权比之前的边权还小就更新这条边权 
            {
                dis1[v]=_min(l,dis1[u]);
                temp.Num=v;
                temp.dis=dis1[v];
                q.push(temp);
            }
        }
    }
}
inline void Dij1()
{
    priority_queue<Node1> q;
    Node1 temp;
    temp.Num=n;
    temp.dis=a[n];
    q.push(temp);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().Num;
        q.pop();
        if(mark[u]) continue;
        mark[u]=1;
        for(int i=0;i<g[u].size();i++)
        {
            int v=g[u][i].Num,l=g[u][i].dis;
            if(dis2[v]<_max(l,dis2[u]))//同上 
            {
                dis2[v]=_max(l,dis2[u]);
                temp.Num=v;
                temp.dis=dis2[v];
                q.push(temp);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(dis1,0x3f,sizeof(dis1));//dis1存的是最短路 
    memset(dis2,0,sizeof(dis2));//dis2存的是最长路 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    dis1[1]=a[1];
    dis2[n]=a[n];//将点的权值转移给边的权值 
    node temp;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        temp.Num=y;
        temp.dis=a[y];
        G[x].push_back(temp);//正图 
        temp.Num=x;
        temp.dis=a[x];
        g[y].push_back(temp);//反图 
        if(z==2)
        {
            temp.Num=x;
            temp.dis=a[x];
            G[y].push_back(temp);
            temp.Num=y;
            temp.dis=a[y];
            g[x].push_back(temp);//同上 
        }
    }
    Dij();//最短路 
    memset(mark,0,sizeof(mark));//注意更新 
    Dij1();//最长路 
    int ans=0; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=_max(ans,dis2[i]-dis1[i]);//如果全部都是负数就代表不用做贸易，按照题目要求输出0即可 
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

谢谢各位