【容斥原理+快速幂】[HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为 1…N的 N 个房间，每个房间关押一个犯人，有 M 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

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输入两个整数 M，N

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可能越狱的状态数，模 100003 取余

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2 3
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6
说明

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

分析：本来开始我用的DP，后来发现时间复杂度太大，换了一种思路，发现有重复（反正都是错的就不具体说是什么错误了），但是在我上学的路上，突然发现还有一个叫容斥原理的：可能越狱的状态数=总状态数-不可能越狱的状态数，将两个式子表示出来就好了。
总状态数：m^n。这个很容易得出，一共有n个房间，每个房间有m种选择
不可能越狱的状态数：m*（m-1）^（n-1）。假设第一个房间的人信仰的宗教是a（1<=a<=m），如果第二个人信仰的宗教b满足条件（1<=b<=m&&b!=a），那么对于这两个房间的人就不会越狱，同理，第三个房间信仰的宗教c满足条件（1<=c<=m&&c!=b）就不会越狱…以此类推，一共有（n-1）个房间，每个房间有（m-1）种选择，a又有m种选择。
答案：m^n-m*（m-1）^（n-1）
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll m,n;
inline ll quickpow(ll a,ll b,ll q)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%q;
        a=a*a%q;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    if(n==1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    printf("%lld",(quickpow(m,n,100003)%100003-m*quickpow(m-1,n-1,100003)%100003+100003)%100003);
    return 0;
}