LOJ10151. 「一本通 5.1 练习 2」分离与合体【区间DP+BFS】

【题目描述】
经过在机房里数日的切磋，LYD 从杜神牛那里学会了分离与合体，出关前，杜神牛给了他一个测试……

杜神牛造了 nn 个区域，他们紧邻着排成一行，编号 1…n1…n。在每个区域里都放着一把 OI 界的金钥匙，每一把都有一定的价值，LYD 当然想得到他们了。然而杜神牛规定 LYD 不能一下子把他们全部拿走，而是每次只可以拿一把。为了尽快得到所有金钥匙，LYD 自然就用上了刚学的分离与合体特技。

一开始 LYD 可以选择 1…n−11…n−1 中的任何一个区域进入，我们不妨把这个区域记为 kk。进入后 LYD 会在 kk 区域发生分离，从而分离成两个小 LYD。分离完成的同时会有一面墙在 kk 区域和 k+1k+1 区域间升起，从而把 1…k1…k 和 k+1…nk+1…n 阻断成两个独立的区间，并在各自区间内任选除区间末尾之外（即从 1…k−11…k−1 和 k+1…n−1k+1…n−1中选取）的任意一个区域再次发生分离，这样就有了四个小小 LYD……重复以上所叙述的分离，直到每个小 LYD 发现自己所在的区间只剩下了一个区域，那么他们就可以抱起自己梦寐以求的 OI 金钥匙。

但是 LYD 不能就分成这么多个个体存在于世界上，这些小 LYD 还会再合体，合体的小 LYD 所在区间中间的墙会消失。合体会获得 ((合并后所在区间左右端区域里金钥匙价值之和)×(之前分离的时候所在区域的金钥匙价值))。

例如，LYD 曾在 1…31…3 区间中的 22 号区域分离成为 1…21…2 和 3…33…3 两个区间，合并时获得的价值就是 (( 11 号金钥匙价值 +3+3 号金钥匙价值)×( 22 号金钥匙价值))。

LYD 请你编程求出最终可以获得的最大总价值，并按照分离阶段从前到后，区域从左到右的顺序，输出发生分离区域编号。若有多种方案，选择分离区域尽量靠左的方案（也可以理解为输出字典序最小的）。

例如先打印一分为二的区域，然后从左到右打印二分为四的分离区域，然后是四分为八的……

【输入】
第一行一个正整数 nn

第二行 nn 个用空格分开的正整数 aiai ，表示 1…n1…n 区域里每把金钥匙的价值。

【输出】
第一行一个数，表示获得的最大价值

第二行按照分离阶段从前到后，区域从左到右的顺序，输出发生分离区域编号。若有多种方案，选择分离区域尽量靠左的方案（也可以理解为输出字典序最小的）。

【输入样例】
7
1 2 3 4 5 6 7
【输出样例】
238
1 2 3 4 5 6
【提示】
数据范围与提示：

对于 20% 的数据，n≤10n≤10；

对于 40% 的数据，n≤50n≤50；

对于 100% 的数据，n,ai≤300n,ai≤300，保证运算过程和结果不超过 3232 位正整数范围。

分析：设f[i][j]表示区间[i,j]可以获得的最大值，目标f[1][n]
状态转移方程不难想出：

f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+(a[i]+a[j]) * a[k])(i<=k<j)

考虑第二问，设step[i][j]表示区间[i,j]取得最大值时的分离区域，在更新f的时候维护一下就好了，输出的时候考虑用bfs的思想。具体见代码（含注释，老少咸宜）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[310];
int f[310][310],step[310][310];
struct Node
{
	int b,e;
}temp;
queue<Node> q;
void bfs()//使用bfs中队列的思想能够实现从左到右输出从小到大分离区域的编号
{//如无法理解可用样例数据手算一下 
	temp.b=1,temp.e=n;
	q.push(temp);
	while(!q.empty())
	{
	    if(q.front().b==q.front().e) 
		{
			q.pop();
			continue;
		}
		printf("%d ",step[q.front().b][q.front().e]);
		temp.b=q.front().b,temp.e=step[q.front().b][q.front().e];
		q.push(temp);
		temp.b=step[q.front().b][q.front().e]+1,temp.e=q.front().e;
		q.push(temp);
		q.pop();
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		for(int j=1;j+i<=n;j++)
		{
			for(int k=j;k<j+i;k++)
			{
				if(f[j][j+i]<f[j][k]+f[k+1][j+i]+(a[j]+a[j+i])*a[k])//因为字典序最小所以不能是小于等于 
				{
					f[j][j+i]=f[j][k]+f[k+1][j+i]+(a[j]+a[j+i])*a[k];
					step[j][j+i]=k;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",f[1][n]);
	bfs();
	return 0;
}

谢谢