luoguP2568GCD【线性筛法求欧拉函数】

题目描述
给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

输入格式
一个整数N

输出格式
答案

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4
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4
说明/提示
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

来源：bzoj2818

本题数据为洛谷自造数据，使用CYaRon耗时5分钟完成数据制作。

由题意，假设(x<=y)
$gcd(x,y)=p(p为质数)$
那么
$gcd(\frac{x}{p},\frac{y}{p})=1(p为质数)$
考虑y对答案的贡献，可以得到是在求$\frac{y}{p}$的欧拉函数，那么我们用线性筛欧拉函数得到即可。
但是注意，p可以为很多值，如果直接暴力计算，会TLE。
仔细观察会发现$\frac{y}{p}$对答案的贡献=$k\times \phi (\frac{y}{p})$，其中k满足$(prime[k+1]\times \frac{y}{p}>n)且(prime[k]\times \frac{y}{p}<=n)$。
所以我们换一种思路，考虑数$i(1\le i\le n)$对答案的贡献。
由于质数表里的质数和$i$都是递增的，所以不用二分查找来实现，直接用一个指针$j$，最开始指着质数表最后一个，每次一直将$j$减到$i\times prime[j]<=n$为止，在直接用上式计算答案。
由唯一分解定理可以得到无重复计算答案。
复杂度显然为O（n）。
注意中间有点细节，具体看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int n;
bool mark[N];
int prime[N];
ll phi[N];
ll ans;
int cnt;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!mark[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++)
		{
			mark[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	int j=cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(prime[j]*i>n) j--;
		if(i==1)//当i等于1的时候可以发现x等于y，此时只用计算一次
		ans+=phi[i]*j; 
		else ans+=((phi[i]*j)<<1);//不等于的话可以交换x和y得到另一组答案
		//故要乘以2
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

谢谢