新增1 剪绳子

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m].请问k[0]*k[1]*...*k[m]可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.

 

解题思路：
本题有动态规划算法的几个明显特征：
（1）是求最优解问题，如最大值，最小值；
（2）该问题能够分解成若干个子问题，并且子问题之间有重叠的更小子问题。
通常按照如下4个步骤来设计一个动态规划算法：
（1）刻画一个最优解的结构特征；
（2）递归地定义最优解的值；
（3）计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
（4）利用计算出的信息构造一个最优解。
以此题为例，我们定义长度为n的绳子剪切后的最大乘积为f(n),剪了一刀后,f(n)=max(f(i)*f(n-i));假设n为10，第一刀之后分为了4-6，而6也可能再分成2-4（6的最大是3-3，但过程中还是要比较2-4这种情况的），而上一步4-6中也需要求长度为4的问题的最大值，可见，各个子问题之间是有重叠的，所以可以先计算小问题，存储下每个小问题的结果，逐步往上，求得大问题的最优解。

int maxCutting(int length){
        if(length<2) 
              return 0;
        if(length==2)
            return 1;
        if(length==3)
            return 2;
        vector<int> dp(length + 1,0);
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        dp[3]=3;
        int Max= 0;
        int temp = 0;
        for(int i=4;i<=length;i++){
            Max = 0;
            for(int j=1;j<=i/2;j++){
                temp = dp[j]*dp[i-j];
　　　　　　　　　　Max = max(temp,Max);                
            }
            dp[i] = Max;
        }
        return dp[length];
  }