《图像处理》第6章 图像复原
6.1 图像退化/复原过程的模型
6.1.1 图像退化
图像退化：图像在形成、记录、处理和传输过程中，由于 成像系统、记录设备、传输介质和处理方法的不完善，导致图像质量下降。
图像退化的原因：
（1）成象系统的象差、畸变、带宽有限等造成图象图象失真；
（2）由于成象器件拍摄姿态和扫描非线性引起的图象几何失真；
（3）运动模糊，成象传感器与被拍摄景物之间的相对运动，引起所成图象的运动模糊；
（4）灰度失真，光学系统或成象传感器本身特性不均匀，造成同样亮度景物成象灰度不同；
（5）辐射失真，由于场景能量传输通道中的介质特性如大气湍流效应、大气成分变化引起图象失真；
（6）图象在成象、数字化、采集和处理过程中引入的噪声等。
6.1.2 图像复原
图像复原：试图利用退化过程的先验知识使已退化的图像恢复本来面目，即根据退化的原因，分析引起退化的环境因素，建立相应的数学模型，并沿着使图像降质的逆过程恢复图像。目的在于消除或减轻在图像获取以及传输过程中造成的图像品质下降，恢复图像的本来面目。因此，复原技术就是把退化模型化，并采用相反的过程进行处理，以便复原出原始图像。
广义上讲，图象复原是一个求逆问题，逆问题经常存在非唯一解，甚至无解，要想恢复全真的景物图像比较困难。为了得到逆问题的有用解，图像复原本身往往需要有一个质量标准，即衡量接近全真景物图像的程度，或者说，对原图像的估计是否到达最佳的程度。需要有先验知识以及对解的附加约束条件。
由于引起退化的因素众多而且性质不同，为了描述图像退化过程所建立的数学模型往往多种多样，而恢复的质量标准也往往存在差异性，因此图像复原是一个复杂的数学过程，图像复原的方法、技术也各不相同。
6.1.3 图像复原与图像增强联系紧密
图像复原通常会涉及到设立一个最佳的准则，它将会产生期望的最佳估计。对比而言，图像增强技术基本上是一个探索性过程，为了人类视觉系统的生理接受特点而设计一种改善图像的方法。
图像复原技术的分类：
（1）在给定退化模型条件下，分为无约束和有约束两大类
（2）根据是否需要外界干扰，分为自动和交互两大类
（3）根据处理所在的域，分为频域和空域两大类
6.1.4 图像退化/复原模型
图像复原的关键在于建立图像退化模型，图像的退化模型反应图像退化的原因。通常将退化原因作为线性系统退化的一个因素来对待，从而建立 系统退化模型来近似描述图像函数的退化。
退化过程可以被模型化为一个退化函数和一个加性噪声项，处理一幅输入图像 f(x,y) 产生一幅退化图像 g(x,y)。给定 g(x,y) 和关于退化函数 H 的一些知识以及外加噪声项 η(x,y)，图像复原的目的是获得关于原始图像的近似估计 
如果系统 H 是一个线性、位置不变性的过程，那么在空间域给出的退化图像可由下式给出：
其中 h(x,y) 使退化函数的空间描述，* 表示卷积。等价的频域描述为：
6.2 噪声模型
数字图像的噪声主要来源于图像的获取（数字化过程）和传输过程。
噪声的空间个频域特性：
频域特性：指噪声在傅里叶域的频率内容。
空间特性：除周期噪声除外，假设噪声独立于空间坐标，并且它与图像本身无关联。
空间噪声利用退化模型中噪声分量的灰度值统计特性来表示，可以被认为是由概率密度函数表示的随机变量。
一些重要的概率密度函数：
图像处理中常用的概率密度函数（PDF）有：高斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数分布噪声、均匀分布噪声、脉冲（椒盐）噪声。
1、高斯噪声
高斯随机变量 z 的 PDF 为：
其中 z 表示灰度值，μ 表示 z 的平均值或期望值，σ 表示 z 的标准差，标准差的平方 σ2 称为 z 的方差。
当 z 服从高斯分布时，其值 70% 落在 [(μ-σ),(μ+σ)] 范围内，且有 95% 落在 [(μ-2σ),(μ+2σ)] 范围内。
2、瑞利噪声
瑞利噪声的 PDF 为：
概率密度的均值和方差由下式给定：
3、伽马（爱尔兰）噪声
伽马噪声的 PDF 为：
其中，a>0，b 为正整数。
概率密度的均值和方差由下式给定：
4、指数分布噪声
指数噪声的 PDF 为：
其中，a>0。
概率密度的均值和方差由下式给定：
为 b=1 时，爱尔兰分布的特殊情况。
5、均匀分布噪声
均匀分布噪声的 PDF 为：
6、脉冲（椒盐）噪声
（双极）均匀分布噪声的 PDF 为：
若 b>a，灰度值 b 将显示为一个亮点，a 的值将显示为一个暗点。
若 Pa 或 Pb 为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。
若 Pa 或 Pb 均不可能为零，尤其是近似相等时，脉冲噪声值类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉细粒。
周期噪声
在图像获取中从电力或机电干扰中产生。
唯一一种空间依赖型噪声。
周期噪声可以通过频率域滤波显著减少。
噪声参数估计
（1）周期噪声的参数可以通过检测图像的傅里叶谱来进行估计。
（2）噪声 PDF 的参数一般可以从传感器的技术说明中得到，但对于特殊的成像装置常常有必要去估计这些参数。
（3）当只有传感器产生的图像可用时，常可以从合理的恒定灰度值的一小部分图像估计 PDF 的参数。
6.3 仅噪声存在情况下的空间滤波复原
当一幅图像中唯一存在的退化是噪声时，（5.1.1）式和（5.1.2）式变成：
噪声项是未知的。
当仅有加性噪声存在时，可以选择空间滤波方法。
这一特殊情况下，图像的增强和复原几乎一样。除通过一种特殊的滤波来计算特性之外，执行所有的滤波的机理完全如在 3.5 节中讨论过的那样。
6.3.1 均值滤波器
1、算术均值滤波器：
令 Sxy 表示中心在（x,y）点，尺寸为 mxn 的矩形子图像窗口的坐标组。算术均值滤波的过程就是计算由 Sxy 定义的区域中被干扰图像 g(x,y) 的平均值。
这个操作可以用系数为 1/(mn) 的卷积模板来实现。
2、几何均值滤波器
用几何均值滤波器复原的一幅图像由如下的表达式给出：
3、谐波均值滤波器
用谐波均值滤波器复原一幅图像由如下表达式给出：
4、逆谐波均值滤波器
用逆谐波均值滤波器复原一幅图像由如下表达式给出：
其中 Q 称为滤波器的阶数。
这种滤波器适合减少或是在实际中消除椒盐噪声的影响。
当 Q 值为正数时，滤波器用于消除“胡椒”噪声；
当 Q 值为负数时，滤波器用于消除“盐”噪声；
当 Q=0 时，逆谐波均值滤波器退化为算术均值滤波器；
当 Q=-1 时，逆谐波均值滤波器退化为谐波均值滤波器。
6.3.2 顺序统计滤波器
中值、最大值、最小值滤波器
1、中点滤波器
在滤波器涉及范围内计算最大值和最小值之间的中点：
这种滤波器结合了顺序统计和求平均，对于高斯和均匀随机分布这类噪声有最好的结果。
2、修正后的阿尔法均值滤波器
假设在 Sxy 领域内去掉 g(s,t) 最高灰度值的 d/2 和最低灰度值的 d/2 个像素。用 gr(s,t) 来代替剩余的 mn-d 个像素。由这剩余像素点的平均值形成的滤波器称为修正后的阿尔法均值滤波器。
其中，d 值可取 0 到 mn-1 之间的任意数。
当 d=0 时，修正的阿尔法均值滤波器退变为算术均值滤波器。
d=(mn-1)/2，修正后的阿尔法均值滤波器退变为中值滤波器。
d 取其他值时，修正后的阿尔法均值滤波器在包括多种噪声的情况非常适用，如高斯噪声和椒盐噪声混合的情况下。
6.4 频域滤波消减周期噪声
6.4.1 带阻滤波器
在频率域噪声分量的一般位置近似已知的应用中消除噪声。
带阻滤波器消除或衰减了傅里叶变换原点处的频段，理想带阻滤波器的表达式：
n 阶的巴特沃斯带阻滤波器
高斯带阻滤波器
6.4.2 带通滤波器
带通滤波器执行与带阻滤波器相反的操作。
带通滤波器的传递函数 Hbp(u,v) 可根据相应的带阻滤波器的传递函数 Hbr(u,v) 得到：
可利用带通滤波器提取噪声模式。
6.4.3 陷波滤波器
陷波滤波器阻止（或通过）事先定义的中心频率领域内的频率。
半径为 D0，中心在（u0,v0）且在（-u0,-v0）对称的理想陷波滤波器的传递函数：
阶数为 n 的巴特沃斯陷波带阻滤波器的传递函数为：
高斯陷波带阻滤波器：
陷波区域的形状可以是任意的（如矩形）。还可以得到另一种陷波滤波器，它能通过（而不是阻止）包含在陷波区的频率。
6.4.4 最佳陷波滤波器
当存在几种干扰时，前面介绍的方法有时就不可采用了，因为在滤波过程中可能消除太多图像信息，另外干扰成分通常不是单频脉冲。
最佳陷波滤波器可以处理这一问题，它最小化复原估计函数
的局部方差。
过程由两步组成：
第一步：屏蔽干扰的主要成分；
第二步：从被干扰的图像中减去一个可变的模式加权部分。
第一步可以通过在每个尖峰处设一陷波带通滤波器 H(u,v) 来完成，干扰噪声模式的傅里叶变换为：N(u,v) = H(u,v)G(u,v)。选中一个特殊滤波器以后，空间域的相应模式可由下式获得：
因为污染图像假设是由未污染图像 f(x,y) 与其干扰相加形成的，若 η(x,y) 完全已知，则从 g(x,y) 减去模式得到 f(x,y) 将非常简单。但是，滤波过程只会得到真实模式的近似值。
令：
w(x,y)：加权函数或调制函数
选取 w(x,y) 使估计值在每一点（x,y）的指定领域上方差最小。
考虑点（x,y）的尺寸为 (2a+1)X(2b+1) 的领域。在坐标（x,y）处，的局部方差可根据下面的示例估计：
6.5 线性、位置不变的退化
退化模型：g(x,y) = H[ƒ(x,y)]+η(x,y)
（1）如果：H[aƒ1(x,y)+bƒ2(x,y)] = aH[ƒ1(x,y)] + bH[ƒ2(x,y)]
则系统 H 是一个线性系统。
（2）若系统 g(x,y) = H[ƒ(x,y)] 对于任意 ƒ(x,y)，α 和 β，有：
H[ƒ(x-α,y-β)] = g(x-α,y-β)
则系统 H 称为位置不变系统（或空间不变系统）。
如果退化模型为线性和位置不变的，其可表示为：
即：
许多退化模型可以近似表示为线性的位置不变过程。
非线性的与位置有关的技术难以求解。
由于退化模型为卷积的结果，且图像复原需要滤波器，因此术语“图像去卷积”常用于表示线性图像复原，而用于复原处理的滤波器成为“去卷积滤波器”。
6.6 估计退化函数
退化函数通常未知，因此在复原之前需要估计退化函数。
估计退化函数的方法：
（1）观察法
g(x,y) = h(x,y)*f(x,y) + η(x,y)
对于模糊图像，选择一小部分图像 gs(x,y)，强信号区，减少噪声影响，并构建一个不退化的图像
然后根据 Hs(u,v) 推出 H(u,v)。
（2）实验法
使用与获取退化图像的设备相似的装置，得到准确的退化估计。
实验估计模型如下：
由于冲激的傅里叶变换为常数 A，可得：
（3）数学建模法 G(u,v) = H(u,v)F(u,v) + N(u,v)
建立退化模型，模型要引起退化的环境因素考虑在内。
如：
就是基于大气湍流的物理特性而提出来的，其中 k 为常数，与湍流特性相关。
另外可以从基本原理开始推导出退化模型，如匀速直线运动造成的模糊就可以运用数学推导出其退化函数。
6.7 逆滤波
研究复原由退化函数 H 退化的图像的第一步。
6.8 几何变换
几何变换可在一幅图像中的像素间修改空间联系。
几何变换由两个基本操作组成：
（1）空间变换，它定义了图像平面上像素的重新安排；
（2）灰度级插补，它处理空间变换后图像中像素灰度级的赋值。
1、空间变换
连接点是像素的子集，它们在输入（失真的）和输出（校正的）图像中的位置是精确已知的。
假设几何变形过程用双线性方程建模，即：
总共有 8 个连接点，可解出 8 个系数，得到几何失真模型。通常需要足够多的连接点以产生覆盖整个图像的四边形集。
2、灰度级插补
双线性内插法：用 4 个最近邻点
