随机分析与随机过程中的一些基本概念

 一、基本定义与概念

随机变量：
   令$(\Omega , \mathcal{F} , P)$是完备概率空间，随机变量$X: \Omega \rightarrow \textbf{R}^n$是一个$\mathcal{F}-$的一个可测映照。所有随机变量满足概率测度：
\begin{equation}
\mu_X(B)=P(X^{-1}(B))
\end{equation}
其中$\mu_X$称为随机变量$X$的分布

随机过程：
随机过程是一组定义在概率空间$(\Omega , \mathcal{F} , P)$上的随机变量$\{X_t\}_{t\in T}$的参数化集合,取值在$\textbf{R}^n$中，$ T\in \left[ 0, \infty \right )$
固定$t\in T$我们可以得到随机变量：
\begin{equation}
\omega \to X_t(\omega); \qquad \omega \in \Omega
\end{equation}
固定$\omega \in \Omega$我们可以得到函数：
\begin{equation}
t \to X_t(\omega); \qquad t \in T
\end{equation}
称它为$X_t$的轨道.
  　　我们认为$t$是时间，每一个$\omega$是一个独立的试验，$X_t(\omega)$代表在时间$t$时刻试验$\omega$的结果，写成二元函数的形式为$X(t,\omega)$。因此我们经常将随机过程看作两个变量的函数：
\begin{equation}
(t,\omega) \to X(t,\omega)\quad T\times \Omega \to \textbf{R}^n
\end{equation}
也可以说，随机过程是可测空间$((\textbf{R}^n)^T,\mathcal{B})$上的概率测度
其中$\sigma$-代数$\mathcal{B}$由集合$\{\omega;\omega(t_1) \ in F_1,\cdots,\omega(t_k)\in F_k\}$生成，$F_i\subset \textbf{R}^n$中的Borel集
　　随机过程的有限维分布表示为：
\begin{equation}
\mu_{t_1,t_2,\cdots,t_k}(F_1\times F_2\times \cdots\times F_k)=P(X_{t_1}\in F_1,\cdots,X_{t_k} \in F_k); t_i \in T
\end{equation}$F_1,...,F_k$表示$\textbf{R}^n$中的Borel集
　　由kolmogorov相容性定理，给出一族概率测度满足相容性条件时，可构造一个随机过程，使其有限维分布满足这一族概率测度.

布朗运动：
　　布朗运动最早是在1828年由苏格兰植物学家发现观察到花粉颗粒的一种不规则运动。这一运动后来被解释为液体分子的随机碰撞。用随机过程$B_t(\omega)$来描述花粉粒$\omega$在时间$t$处的位置。
　　由 Kolmogorov 存在定理, 指定一族概率测度 $ {V_{_{t_{1}},...,t_{k}}} $,满足相容性条件。这一族概率测度与观察到的花粉的行为一致,就可以构造随机过程$ \{B_{t}\}_{t\geq0} $
固定$ x\in \textbf{R}^{n} $,定义:
\begin{equation}
p(t,x,y)=((2\pi t)^{-n/2})exp(-\dfrac{|x-y|^2}{2t}),\qquad y\in \textbf{R}^{n},t>0 
\end{equation}
如果$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq t_{k} $,定义$ \textbf{R}^{nk} $上的一个测度：
\begin{equation}
v_{{t_{1}},...,t_{k}}(F_{1}\times ...\times F_{k} )\\
=\int_{F_{1}\times ...\times F_{k} }^{} p(t_{1},x,x_{1})p(t_{2}-t_{1},x_{1},x_{2})...p(t_{k}-t_{k-1},x_{k-1},x_{k})dx_{1}\cdots dx_{k},
\end{equation}
我们用符号$ dy=dy_{1}\cdots dy_{k} $表示 Lebesgue 测度, $ p(0,x,y)dy=\delta _{x}(y) $表示在$ x $处单位点的质量。
　　将这一定义延拓到有限维空间，并利用Kolmogorov相容性定理，可以得到：
存在一个概率空间$(\Omega , \mathcal{F} , P)$与一个$\Omega$上的随机过程$ \{B_{t}\}_{t\geq 0} $，其有限维分布为：
\begin{equation}
P^{x}(B_{t_1}\in F_{1},\cdots , B_{t_k}\in F_{K})\\
=\int_{F_{1}\times \cdots \times F_{k} }^{} p(t_{1},x,x_{1})p(t_{2}-t_{1},x_{1},x_{2})\cdots p(t_{k}-t_{k-1},x_{k-1},x_{k})dx_{1}\cdots dx_{k}
\end{equation}
这一随机过程称为初始为$x$的布朗运动。

　　上述定义的布朗运动并不唯一，选取$\omega \in \Omega$,连续函数$t \to B_t(\omega)$,从$\left[ 0, \infty \right )$映射到$\textbf{R}^n$,这样我们可以认为布朗运动是配备了上式给出的概率测度$P^x$的$C(\left[ 0,\infty \right) , \textbf{R}^n)$空间

布朗运动的基本特征：
(i) $B_t$是高斯过程：
　　对所有的$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\cdots\leq t_{k} $随机变量$ Z=(B_{t_{1}},...,B_{t_{K}})\in \textbf{R}^{nk}$,服从 (多重) 正态分布\\
(ii)$B_t$具有独立增量性：
　　对任意的$ 0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq...\leq t_{k} $，
$ B_{t_{1}},B_{t_{2}}-B_{t_{1}},\cdots,B_{t_{k}}-B_{t_{k-1}} $是独立的。
(iii)$B_t$几乎处处连续:
　　布朗运动轨道的连续性质由Kolmogorov 连续性定理给出：
　　随机过程$X=\{X_t\}_{t\geq0}$满足下列条件：
对于任意的$T>0$,存在连续正数$\alpha,\beta,D$,满足：
\begin{equation}
E[|X_t-X_s|^{\alpha}]\leq D\cdot|t-s|^{1+\beta};\qquad 0\leq s,t\leq T
\end{equation}
则存在随机过程X的连续形式。
由上述定理可知布朗运动满足Kolmogorov条件，因此存在连续形式，我们认为$B_t$为连续的


二、$It\hat{o}$积分

$It\hat{o}$积分的构造：

　　用随机过程$W_t$替代微分方程里的噪声部分，可以得到以下形式的微分方程：
\begin{equation}
\frac{dN}{dt}=b(t,X_t)+\sigma(t,X_t)\cdot W_t
\end{equation}
在多数应用场景下随机过程$W_t$满足需要以下条件：
(i)$W_{t_1}$与$W_{t_2}$独立，$t_1\not = t_2$
(ii)$W_t$是固定的，即联合分布$\{W_{t_1+t},...,W_{t_k+t}\}$不随t的变化而变化
(iii)对于所有$t$，$E[W_t]=0$
可证明满足上述条件的合理随机过程是不存在的，然而可以将$W_t$表示为一个广义随机过程，称为白噪声过程。

　　考虑方程的离散情况：
\begin{equation}
X_{k+1}-X_k=b(t_k,X_k)\Delta t_k+\sigma(t_k,X_k)W_k \Delta t_k
\end{equation}
其中:
\begin{equation}
X_j=X(t_j)$，$W_k=W_{t_k},\Delta t_k=t_{k+1}-t_k
\end{equation}
将$W_k \Delta t_k$替换为$\Delta V_k=V_{t_{k+1}}-V_{t_k}$，当$W_t$满足上面三个条件时，$V_t$应当为平均值为0的独立平稳增量。由于只有一种随机过程——布朗运动满足连续轨迹，因此令$V_t=B_t$得到：
\begin{equation}
X_k=X_0+\displaystyle\sum_{j = 1}^{k-1}b(t_j,X_j)\Delta t_j+\displaystyle\sum_{j = 1}^{k-1}\sigma(t_j,X_j)\Delta B_j
\end{equation}
当$\Delta t_j\to0$时右侧极限若存在，则$X_t=X_t(\omega)$为满足下式的随机过程：
\begin{equation}
X_k=X_0+\displaystyle\int_{0}^{t}b(s,X_s)ds+\displaystyle\int_{0 }^{t}\sigma(s,X_s)d B_s
\end{equation}
　　构造阶梯函数可证明随机积分的存在性，定义积分$\int_{S}^{T}f(t,\omega)dB_t(\omega)$为$\displaystyle\sum_{j}^{S}f(t_j^*,\omega)[B_{t_j+1}-B_{t_j}](\omega)$当$n\to\infty$时的极限形式。
1)当取左端点积分$t_j^*=t_j$时，为$It\hat{o}$积分，表示为
\begin{equation}
\int_{S}^{T}f(t,\omega)dB_t(\omega)
\end{equation}
2)当取中点作积分$t_j^*=(t_j+t_{j+1})/2$时，为$Stratonovich$积分，表示为：
\begin{equation}
\int_{S}^{T}f(t,\omega)\circ dB_t(\omega)
\end{equation}
$It\hat{o}$积分保持了布朗运动的鞅性和独立增量性，$Stratonovich$积分在运算上可以有如$Riemann$积分中的链式法则