Ansys Maxwell2——二维电磁场理论和有限元基础
对于偏微分方程，使其解成为唯一的辅助条件可分为两种：一种是表达场的边界所处的物理情况、称为边界条件；另一种是确定场的初始状态，称为初始条件。边界条件和初始条件合称为定解条件。
2.1 二维电磁场基本理论
电磁场的经典描述是麦克斯韦方程组，电机电磁场分析—般采用位函数表示，位函数
比场量本身更容易建立边界条件。位函数包括磁矢位 $A$ 和磁标位$\varphi $。
2.1.1 麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组实际上由似个定律组成，它们分别为：安培环路定律、法拉第电磁感应定律、高斯电通定律和高斯磁通定律（亦称磁通连续定律）。
\[\left\{ \begin{array}{l}
\nabla \times \vec H = \vec J + \frac{{\partial \vec D}}{{\partial t}}\\
\nabla \times \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho \\
\nabla \cdot \vec B = 0
\end{array} \right.\]
对于线性媒质：
\[\left\{ \begin{array}{l}
\vec D = \varepsilon \vec E\\
\vec B = \mu \vec H\\
\vec J = \sigma \vec E
\end{array} \right.\]
2.1.2 位函数及其微分方程
在无旋场(即旋度为零的场)中可以采用标量位函数，而在有旋场中，则必须用矢量位函数。
因此可以引入标量电位或标量磁位。它们与场强的关系是：
\[\left\{ \begin{array}{l}
\vec E = - \nabla \varphi \\
\vec H = - \nabla {\varphi _m}
\end{array} \right.\]
Ansoft 中常用的求解方程有：
二维、三维静电场求解器所满足的泊松方程
\[\nabla \varphi = - \frac{\rho }{\varepsilon }\]
二维稳恒电场求解器所满足的拉普拉斯方程
\[\nabla \varphi = 0\]
二维交变电场求解器所满足的复数拉普拉斯方程
二维静磁场求解器所满足的非齐次标量波动方程
二维涡流场求解器所满足的波动方程
二维轴向磁场求解器所满足的齐次波动方程
三维静磁场和涡流场求解器所满足的齐次波动方程
2.1.3 电磁场中的边界条件
电磁场求解过程中有各种各样的边界条件，具体包括以下几类：
狄利克莱边界条件
\[{\left. \varphi \right|_\Gamma } = g(\Gamma )\]
诺依曼边界条件
\[\left. {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial n}}} \right|\Gamma + {\left. {f(\Gamma )\varphi } \right|_\Gamma } = h(\Gamma )\]
自然边界条件
对称边界条件
周期边界条件
气球边界条件
阻抗边界条件
2.2 二维有限元理论初步
2.2.1 二维有限元法
将有限元法的过程简要地归纳成如下几个步骤：
Step1 列出与偏微分方程边值问题等价的条件变分问题。
Step 2 将区域作三角形单元剖分，并在单元中，构造出线性插值函数。
Step 3 将能量泛函的极值问题转化为能量函数的极值问题，建立线性代数方程组。
Step 4 求解线性代数方程组。
2.2.2 电磁场求解后处理
通过有限元法求解出的节点的电势或者磁势值是远远不够的，在实际的问题当中我们还需要得到许多其它物理量，如磁感应强度、电位移通量、电磁场能量、电磁力和力矩、电感和电容等。这些量是比较容易通过求得的电势和磁势量导出的，这种导出过程称之为有限元解的后处理。
电场储能：
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{W_e} = \frac{1}{2}\int_\Omega {\vec D \cdot \vec E{\rm{d}}\Omega } = \frac{\varepsilon }{2}\int_\Omega {{{\left| {\nabla \varphi } \right|}^2}{\rm{d}}\Omega } }\\
{\;\;\;\; = \frac{\varepsilon }{2}\sum\limits_{e = 1}^n {\int_{{\Omega ^e}} {[{{(\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}})}^2} + {{(\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}})}^2}]} } {\rm{d}}\Omega }
\end{array}\]
磁场储能
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{W_m} = \frac{1}{2}\int_\Omega {\vec B \cdot \vec H{\rm{d}}\Omega } = \frac{1}{{2\mu }}\int_\Omega {{{\left| {\vec B} \right|}^2}{\rm{d}}\Omega } }\\
{\;\;\;\; = \frac{1}{{2\mu }}\sum\limits_{e = 1}^n {\int_{{\Omega ^e}} {[{{(\frac{{\partial A}}{{\partial x}})}^2} + {{(\frac{{\partial A}}{{\partial y}})}^2}]} } {\rm{d}}\Omega }
\end{array}\]
电感
\[L = \frac{{2{W_m}}}{{{I^2}}}\]
电容
\[C = \frac{{2{W_e}}}{{{V^2}}}\]
电磁力\[F = \frac{{\partial {W_m}^\prime }}{{\partial S}}\]
力矩\[{T_m} = P\frac{{\partial {W_m}^\prime }}{{\partial \theta }}\]
