一种整数集上二分的正确写法

（参考：李煜东《算法竞赛进阶指南》：0x04 二分）

我们都知道，实数域上的二分的写法非常简单，确定好精度很省心。

而整数集上的二分，是需要关注起始边界、终止边界、中点选择、左右区间取舍时的开闭情况的。

《算法竞赛进阶指南》上的整数集合上二分写法和我平时喜欢使用的是一样的，因此进行记录，以便后续参考。

 

本文所记录的二分写法，需要保证答案处于闭区间 $[l,r]$ 内、循环以 $l=r$ 结束、每次二分的中点 $mid$ 会归属于左右区间中的一个。

（1）在单调递增序列 $a$ 中查找，第一个满足大于等于 $x$ 的数：

while(l<r)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    if(a[mid]>=x) r=mid;
    else l=mid+1;
}
return l;

（2）在单调递增序列 $a$ 中查找，最后一个满足小于等于 $x$ 的数：

while(l<r)
{
    int mid=(l+r+1)>>1;
    if(a[mid]<=x) l=mid;
    else r=mid-1;
}
return l;

（注：在计算 $mid$ 使用算术右移而非除法，是因为算术右移的结果始终是向下取整，而除法是向零取整，使用算术右移可以使得区间为负数时也可以正常二分。若我们能保证在非负整数集合上二分，除 $2$ 也是可以的。）

 

另外，我们注意到：

对于写法（1）， mid=(l+r)>>1 不会取到 $r$。因此，若我们将初始的二分范围 $[l,r]$ 扩大到 $[l,r+1)$，一旦二分无解，则最终返回的下标将会是 $r+1$。

对于写法（2）， mid=(l+r+1)>>1 不会取到 $l$。因此，若我们将初始的二分范围 $[l,r]$ 扩大到 $(l-1,r]$，一旦二分无解，则最终返回的下标将会是 $l-1$。

这样一来，便可以轻松地判断二分是否有解。