Gym 101873G - Water Testing - [皮克定理]

题目链接：http://codeforces.com/gym/101873/problem/G

 

题意：

在点阵上，给出 $N$ 个点的坐标（全部都是在格点上），将它们按顺序连接可以构成一个多边形，求该多边形内包含的格点的数目。

 

题解：

首先，根据皮克定理 $S = a + \frac{b}{2} - 1$，其中 $S$ 是多边形面积，$a$ 是多边形内部格点数目，$b$ 是多边形边界上的格点数目。

那么，我们只要求出 $S$ 和 $b$，就很好求得 $a$ 了：

1、对于两端点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 都再格点上的一条线段，该线段上的格点数目为 $\gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)+1$。这很好理解，对于横坐标差值和纵坐标差值求得的最大公因数 $g$，相当于将横坐标差值分成 $g$ 份，由于是整除，因此显然每份的左右端点都是整数，对于纵坐标也是同样的道理，由于是最大公因数，所以不可能再分更多份，因此 $\gcd(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$ 即求得两端点间最多能分成多少段由格点分割的线段，再加上 $1$ 即整条线段上的格点数目。

2、对于格点按顺序给出的多边形，设 $P_0 = P_{n+1}$ 且 $O$ 为原点，则面积为 $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n}{\left ( \overrightarrow{OP_i} \times \overrightarrow{OP_{i+1}} \right )}$。这个画个图模拟一下也非常容易理解。

 

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
const int maxn=1e5+10;
int n;
pll p[maxn];
inline ll gcd(ll m,ll n){return n?gcd(n,m%n):m;}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&p[i].first,&p[i].second);
    ll S2=0, b=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        S2+=p[i].first*p[(i+1)%n].second-p[i].second*p[(i+1)%n].first;
        b+=gcd(abs(p[i].first-p[(i+1)%n].first),abs(p[i].second-p[(i+1)%n].second));
    }
    cout<<(abs(S2)-b+2)/2<<endl;
}