BZOJ 1003 - 物流运输 - [最短路+dp]
题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1003
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Description
物流公司要把一批货物从码头A运到码头B。由于货物量比较大，需要n天才能运完。货物运输过程中一般要转
停好几个码头。物流公司通常会设计一条固定的运输路线，以便对整个运输过程实施严格的管理和跟踪。由于各种
因素的存在，有的时候某个码头会无法装卸货物。这时候就必须修改运输路线，让货物能够按时到达目的地。但是
修改路线是一件十分麻烦的事情，会带来额外的成本。因此物流公司希望能够订一个n天的运输计划，使得总成本
尽可能地小。
Input
第一行是四个整数n（1<=n<=100）、m（1<=m<=20）、K和e。n表示货物运输所需天数，m表示码头总数，K表示
每次修改运输路线所需成本。接下来e行每行是一条航线描述，包括了三个整数，依次表示航线连接的两个码头编
号以及航线长度（>0）。其中码头A编号为1，码头B编号为m。单位长度的运输费用为1。航线是双向的。再接下来
一行是一个整数d，后面的d行每行是三个整数P（ 1 < P < m）、a、b（1< = a < = b < = n）。表示编号为P的码
头从第a天到第b天无法装卸货物（含头尾）。同一个码头有可能在多个时间段内不可用。但任何时间都存在至少一
条从码头A到码头B的运输路线。
Output
包括了一个整数表示最小的总成本。总成本=n天运输路线长度之和+K*改变运输路线的次数。
Sample Input
5 5 10 8
1 2 1
1 3 3
1 4 2
2 3 2
2 4 4
3 4 1
3 5 2
4 5 2
4
2 2 3
3 1 1
3 3 3
4 4 5
Sample Output
32
//前三天走1-4-5，后两天走1-3-5，这样总成本为(2+2)*3+(3+2)*2+10=32
题解：
起初我想当然地考虑每天都找最短路，然后当天最短路和前一天最短路不一样就要改动一次线路。
然后，这种方法显然是有问题的，比如第一天所有港口都能用，我走最短路长度为 $10$。但第二天某个港口 $x$ 就不能用了，要改走次短路长度为 $11$，而改动一次线路花费为 $k=1000$，那么我就花费了$1021$。但是如果我两天都走次短路，那么总花费才 $22$，显然第二种更优。因此上面那句话所描述的方法是错误的。
考虑dp的做法：假设 $dp[i]$ 表示第 $i$ 天的最少花费，可以枚举改变路线在哪一天（或者根本不改变路线），那么不难有递推公式：$dp[i] = \min (c[1][i],\min \{ 1 \le j < i|dp[j] + k + c[j+1][i]\} )$。
其中，$c[a][b]$ 应当表示在第 $[j,i]$ 天全部都走某一条路（也就是说不改变）的最少花费。
由于天数的范围很小，因此可以暴力枚举所有 $a,b$ 去求 $c[a][b]$。
AC代码（二叉堆优化dijkstra）：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f; const int maxn=30; const int maxm=110; int n,m,k,e; int d; bool cant[maxn][maxm]; int c[maxm][maxm]; int dp[maxm]; struct Edge{ int u,v,w; Edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0){u=_u,v=_v,w=_w;} }; vector<Edge> E; vector<int> G[maxn]; void init(int l,int r) { E.clear(); for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear(); } void addedge(int u,int v,int w) { E.push_back(Edge(u,v,w)); G[u].push_back(E.size()-1); } int dist[maxn],vis[maxn]; struct Heap { int sz; int heap[4*maxn],pos[4*maxn]; void up(int now) { while(now>1) { int par=now>>1; if(dist[heap[now]]<dist[heap[par]]) //子节点小于父节点，不满足小顶堆性质 { swap(heap[par],heap[now]); swap(pos[heap[par]],pos[heap[now]]); now=par; } else break; } } void push(int x) //插入权值为x的节点 { heap[++sz]=x; pos[x]=sz; up(sz); } inline int top(){return heap[1];} void down(int now) { while((now<<1)<=sz) { int nxt=now<<1; if(nxt+1<=sz && dist[heap[nxt+1]]<dist[heap[nxt]]) nxt++; //取左右子节点中较小的 if(dist[heap[now]]>dist[heap[nxt]]) //子节点小于父节点，不满足小顶堆性质 { swap(heap[now],heap[nxt]); swap(pos[heap[now]],pos[heap[nxt]]); now=nxt; } else break; } } void pop() //移除堆顶 { heap[1]=heap[sz--]; pos[heap[1]]=1; down(1); } void del(int p) //删除存储在数组下标为p位置的节点 { heap[p]=heap[sz--]; pos[heap[p]]=p; up(p), down(p); } inline void clr() { sz=0; memset(pos,0,sizeof(pos)); } }h; inline bool ok(int p,int st,int ed) { for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return 0; return 1; } void dijkstra(int st,int ed) { for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=0; dist[1]=0; h.clr(); h.push(1); while(h.sz) { int u=h.top(); h.pop(); if(vis[u]) continue; vis[u]=1; for(int i=0;i<G[u].size();i++) { Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v; if(!ok(v,st,ed)) continue; if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w) { dist[v]=dist[u]+e.w; if(h.pos[v]) h.up(h.pos[v]); else h.push(v); } } } } int main() { cin>>m>>n>>k>>e; init(1,n); for(int i=1,u,v,w;i<=e;i++) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); addedge(u,v,w); addedge(v,u,w); } cin>>d; memset(cant,0,sizeof(cant)); for(int i=1,p,a,b;i<=d;i++) { scanf("%d%d%d",&p,&a,&b); for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=1; } for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=i;j<=m;j++) { dijkstra(i,j); c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+1)); } } for(int i=1;i<=m;i++) { dp[i]=c[1][i]; for(int j=1;j<i;j++) if(c[j+1][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+1][i]); } cout<<dp[m]<<endl; }
AC代码（优先队列优化dijkstra）：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef pair<int,int> pii; const int INF=0x3f3f3f3f; const int maxn=30; const int maxm=110; int n,m,k,e; int d; bool cant[maxn][maxm]; int c[maxm][maxm]; int dp[maxm]; struct Edge{ int u,v,w; Edge(int _u=0,int _v=0,int _w=0){u=_u,v=_v,w=_w;} }; vector<Edge> E; vector<int> G[maxn]; void init(int l,int r) { E.clear(); for(int i=l;i<=r;i++) G[i].clear(); } void addedge(int u,int v,int w) { E.push_back(Edge(u,v,w)); G[u].push_back(E.size()-1); } int dist[maxn],vis[maxn]; inline bool ok(int p,int st,int ed) { for(int i=st;i<=ed;i++) if(cant[p][i]) return 0; return 1; } void dijkstra(int st,int ed) { for(int i=1;i<=n;i++) dist[i]=INF,vis[i]=0; dist[1]=0; priority_queue< pii, vector<pii>, greater<pii> > Q; Q.push(make_pair(0,1)); while(!Q.empty()) { int u=Q.top().second; Q.pop(); if(vis[u]) continue; vis[u]=1; for(int i=0;i<G[u].size();i++) { Edge &e=E[G[u][i]]; int v=e.v; if(!ok(v,st,ed)) continue; if(!vis[v] && dist[v]>dist[u]+e.w) { dist[v]=dist[u]+e.w; Q.push(make_pair(dist[v],v)); } } } } int main() { cin>>m>>n>>k>>e; init(1,n); for(int i=1,u,v,w;i<=e;i++) { scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); addedge(u,v,w); addedge(v,u,w); } cin>>d; memset(cant,0,sizeof(cant)); for(int i=1,p,a,b;i<=d;i++) { scanf("%d%d%d",&p,&a,&b); for(int k=a;k<=b;k++) cant[p][k]=1; } for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=i;j<=m;j++) { dijkstra(i,j); c[i][j]=(dist[n]>=INF)?INF:(dist[n]*(j-i+1)); } } for(int i=1;i<=m;i++) { dp[i]=c[1][i]; for(int j=1;j<i;j++) if(c[j+1][i]<INF) dp[i]=min(dp[i],dp[j]+k+c[j+1][i]); } cout<<dp[m]<<endl; }
