扩展KMP算法小记
参考来自《拓展kmp算法总结》:http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947
扩展KMP解决的问题:
定义母串S和子串T,S的长度为n,T的长度为m;
求 字符串T 与 字符串S的每一个后缀 的最长公共前缀;
也就是说,设有extend数组:extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀,要求出所有extend[i](0<=i<n)。
(注意到,如果存在若干个extend[i]=m,则表示T在S中完全出现,且是在位置i出现,这就是标准的KMP问题,所以一般将它称为扩展KMP算法。)
下面举一个例子,S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”;
首先,计算extend[0]时,需要进行5次匹配,直到发生失配:从而得知extend[0]=4;
下面计算extend[1],在计算extend[1]时,是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢?
答案是否定的,因为通过计算extend[0]=4,从而可以得出S[0,3]=T[0,3],进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3];
计算extend[1]时,事实上是从S[1]开始匹配;
设有辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度,
在这个例子中,next[1]=4,即T[0,3] = T[1,4],进一步得到T[1,3]=T[0,2],所以S[1,3]=T[0,2],所以在计算extend[1]时,通过extend[0]的计算,已经知道S[1,3]=T[0,2];
所以前面3个字符已经不需要匹配,直接匹配S[4]和T[3]即可,这时一次就发生失配,所以extend[1]=3.
1. 拓展kmp算法一般步骤
通过上面的例子,事实上已经体现了拓展kmp算法的思想,下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。
首先我们从左到右依次计算extend数组,在某一时刻,设extend[0...k]已经计算完毕,并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P,所谓最远位置,严格来说就是i+extend[i]-1的最大值(0<=i<=k);
设取到这个最大值的位置为Po,如在上面的例子中,计算extend[1]时,P=3,Po=0.
现在要计算extend[k+1],根据extend数组的定义,可以推断出S[Po,P]=T[0,P-Po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-Po+1,P-Po],令len=next[k-Po+1](next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度);
分以下两种情况讨论:
第一种情况:k+len<P
如下图所示:
上图中,S[k+1,k+len]=T[0,len-1],
然后S[k+len+1]一定不等于T[len],因为如果它们相等,则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+Po+len+1]=T[0,len],那么next[k+Po+1]=len+1,这和next数组的定义不符;
所以在这种情况下,不用进行任何匹配,就知道extend[k+1] = len.
(
一个例子的模拟:
)
第二种情况: k+len>=P
如下图:
上图中,S[P+1]之后的字符都是未知的,也就是还未进行过匹配的字符串,所以在这种情况下,就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配,直到发生失配为止,当匹配完成后,如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和Po.
(
另一个例子的模拟:
)
至此,拓展kmp算法的过程已经描述完成,细心地读者可能会发现,next数组是如何计算还没有进行说明;
事实上,计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样,将它看成是以T为母串,T为子串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了;
计算过程中的所需要的next数组值全是已经计算过的,所以按照上述介绍的算法计算next数组不会出现问题,不再赘述。
代码模板:
const int MAX=100010; //字符串长度最大值 int Next[MAX],extend[MAX]; //预处理计算Next数组 void getNext(char str[]) { int i=0,j,po,len=strlen(str); next[0]=len; //初始化next[0] while(str[i]==str[i+1] && i+1<len) i++; next[1]=i; //计算next[1] po=1; //初始化po的位置 for(i=2;i<len;i++) { if(next[i-po]+i < next[po]+po) //第一种情况,可以直接得到next[i]的值 next[i]=next[i-po]; else //第二种情况,要继续匹配才能得到next[i]的值 { j = next[po]+po-i; if(j<0) j=0; //如果i>po+next[po],则要从头开始匹配 while(i+j<len && str[j]==str[j+i]) j++; next[i]=j; po=i; //更新po的位置 } } } //计算extend数组 void EXKMP(char s1[],char s2[]) { int i=0,j,po,len=strlen(s1),l2=strlen(s2); getNext(s2); //计算子串的next数组 while(s1[i]==s2[i] && i<l2 && i<len) i++; extend[0]=i; po=0; //初始化po的位置 for(i=1;i<len;i++) { if(next[i-po]+i < extend[po]+po) //第一种情况,直接可以得到extend[i]的值 ex[i]=next[i-po]; else //第二种情况,要继续匹配才能得到extend[i]的值 { j = extend[po]+po-i; if(j<0) j=0; //如果i>extend[po]+po则要从头开始匹配 while(i+j<len && j<l2 && s1[j+i]==s2[j]) j++; extend[i]=j; po=i; //更新po的位置 } } }