最大权闭合子图 - [求最大点权的闭合子图]

引用来自http://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/03/12/2391960.html的思想；

首先有一个有向连通图，每个点带有一个权值，例如：

 

此时，构建一个超级源点s，一个超级汇点t，所有的点按权值的正负连接到s和t上，转换成一个边权值有向图，如下图：

（注：点权为0的点可以忽略，对结果没有影响）

 

这时，可以得到小结论：

 

①该带边权有向图的关于s-t最小割，是简单割；

　　简单割：割集中所有的边，都与s或t相连接。

　　显然的，因为不与s,t相连的边，权值都是INF，最小割不可能割在INF的边上；

　　这早在文章http://www.cnblogs.com/dilthey/p/7401563.html中就有出现提到过，实际上，这个带边权有向图就是二分图；

 

②该图中的每一个简单割产生的两个子图，我们记含有点s的是图S，含有点t的是图T，则图S是闭合图；

　　闭合图：在一个图中，我们选取一些点构成集合，若集合中任意点连接的任意出弧，所指向的终点也在V中，则这个集合以及所有这些边构成闭合图。

　　证明：简单割内不包含边权为INF的边，即不含有连通两个图的边（除了连接在t点上的边之外）；

　　　　　即，图S中没有边与图T连通，那么，所有的边都只能连接在图S之内，即为闭合图。

　　样例：

　　　　　　　　　　

 

③最小割产生的图S和图T，图S为最大权闭合子图；

　　最大权闭合子图：在整个图中，有多个子图是满足闭合图的条件的，其中点权值之和最大的，为最大权闭合子图；

　　因为割集中所有的边，不是连接在s上，就是连接在t上；

　　我们记割集中，所有连接在s上的边的权值和为x1，所有连接在t上的边的权值和为x2，而割集中所有边权值和为X=x1+x2；

　　又，记图S中所有点的权值和为W，记其中正权值之和为w1，负权值之和为 - w2，故W = w1 - w2；

　　而 W + X = w1 - w2 + x1 + x2，由于x2 = w2

　　　　（因为图S中所有负权值的点，必然连接到t点，而图S必然要与t分割开；故割集中，“连接在t点上的边权值和”就是“图S中所有负权值点的权值之和，取负”）

　　因而W + X = w1 + x1；

　　而显然的，w1 + x1是整个图中所有正权值之和，记为SUM；

　　故W = SUM - X，即 “图S中所有点的权值和” = “整个图中所有正权值之和”  - “割集中所有边权值和”；

　　然后，因为SUM为定值，只要我们取最小割，则“图S中所有点的权值和”就是最大的，即此时图S为图S为最大权闭合子图；

 

最后，我们就有了求解这类问题的完整思路：

　　①先记录整个图中，所有正点权值的和；

　　②建立对应流网络，求最大流，最大流在数值上等于最小割，故我们得到了流网络的s-t最小割；

　　③“所有正点权值的和”减去“s-t最小割”，即得最大权闭合子图的权值和。