XTU 1260 - Determinant - [2017湘潭邀请赛A题(江苏省赛)][高斯消元法][快速幂和逆元]

是2017江苏省赛的第一题，当时在场上没做出来（废话，那个时候又不懂高斯消元怎么写……而且数论也学得一塌糊涂，现在回来补了）

省赛结束之后，题解pdf就出来了，一看题解，嗯……加一行再求逆矩阵从而得到伴随矩阵从而得到答案，emmmmm真是非常通俗易懂呢！

于是在回学校的路上强行回忆上学期学的线性代数，把这题题解的原理想通了，然后到现在把高斯消元法补了，才把这题做出来……

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define MAXN 205
 4 #define MOD 1000000007
 5 typedef long long ll;
 6 using namespace std;
 7 int n;
 8 ll a[MAXN][2*MAXN],det;//注意矩阵的列数要是MAXN的两倍，因为( A , E ) -> ( E , inv(A) ) 
 9 ll pow(ll a,ll b){//快速幂 
10     ll r=1,base=a%MOD;
11     while(b){
12         if(b&1) r*=base , r%=MOD;
13         base*=base;
14         base%=MOD;
15         b>>=1;
16     }
17     return r;
18 }
19 ll inv_(ll a){return pow(a,MOD-2);}//求逆元 
20 void debug()
21 {
22     for(int i=1;i<=n;i++)
23     {
24         for(int j=1;j<=2*n;j++) printf("%I64d ",a[i][j]);
25         printf("\n");
26     }
27 }
28 int Gauss_eli(int row,int col)
29 {
30     det=1;
31     for(int i=1;i<=row;i++)//a[i][i] 
32     {
33         int tmp;
34         for(tmp=i;tmp<=n;tmp++) if(a[tmp][i]) break;
35         if(tmp!=i) det*=-1;//行列式交换两行要取负
36         for(int j=1;j<=col;j++) swap(a[tmp][j],a[i][j]);//交换两行
37         det=(det*a[i][i]%MOD + MOD)%MOD;
38         ll inv=inv_(a[i][i]);//求得逆元 
39         for(int j=1;j<=col;j++) a[i][j]=a[i][j]*inv%MOD; 
40         for(int r=1;r<=row;r++)
41         {
42             if(r==i) continue;
43             ll mult=a[r][i];
44             for(int c=1;c<=col;c++) a[r][c]=(a[r][c] - a[i][c]*mult%MOD + MOD)%MOD;//消元 
45         }
46         //debug(); printf("det = %I64d\n",det);
47     }
48 }
49 int main()
50 {
51     //freopen("input.txt","r",stdin);
52     //freopen("output1.txt","w",stdout);
53     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
54     {
55         for(int j=1;j<=n;j++) a[1][j]=1;
56         for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lld",&a[i][j]);
57         for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=n+1;j<=2*n;j++) a[i][j]=(i==(j-n));
58         Gauss_eli(n,2*n);
59         for(int i=1;i<=n;i++)
60         {
61             if(i!=1) printf(" ");
62             if(i%2==0) a[i][n+1]=(MOD - a[i][n+1])%MOD;
63             printf("%I64d",(a[i][n+1]*det + MOD)%MOD);
64         }
65         printf("\n");
66     }
67 }

可以说是学到了，对高斯消元、逆元、取模等一系列问题有了更深的认识吧。

 

关于快速幂：

a^b，把b个a进行两两分组，比如：a*a*a*a*a*a  =>  (a*a)*(a*a)*(a*a)

这样变的好处是，你只需要计算一次a*a，然后将结果(a*a)连乘自己两次就能得到a^6，即(a*a)^3=a^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

核心代码是：

1 while(n)
2 {
3     if(n&1) res=res*a;
4     n>>=1;
5     a=a*a;
6 }

完整版是：

 1 ll fpow(ll a,ll b){//快速幂
 2     ll r=1,base=a%MOD;
 3     while(b){
 4         if(b&1) r*=base , r%=MOD;
 5         base*=base;
 6         base%=MOD;
 7         b>>=1;
 8     }
 9     return r;
10 }
11 ll fpow(ll a,ll i){//递归版快速幂
12 　　if (i==0) return 1;
13 　　int temp=pow(a,i>>1);
14 　　temp=temp*temp%MOD;
15 　　if (i&1) temp=(ll)temp*a%MOD;
16 　　return temp%MOD;
17 }

 

另附一个数据生成器，以后应该经常用得到……

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<ctime>
 4 int get_rand(int m,int n)//[m,n] 
 5 {
 6     return( rand()%(n - m + 1) + m );
 7 }
 8 int main()
 9 {
10     freopen("input.txt","w",stdout);
11     srand(time(NULL)); 
12     int n=get_rand(1,200);
13     printf("%d\n",n);
14     for(int i=1;i<n;i++)
15     {
16         for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",get_rand(0,1000000009));
17         printf("\n");
18     }
19 }
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posted @ 2017-07-06 17:43  Dilthey  阅读(257)  评论(0)  编辑  收藏  举报