Luogu 1031 - 均分纸牌 - [有意思的思维题]

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1031

题目描述
有 $N$ 堆纸牌，编号分别为 $1,2,…,N$。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 $N$ 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 $1$ 堆上取的纸牌，只能移到编号为 $2$ 的堆上；在编号为 $N$ 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 $N-1$ 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 $N=4$，$4$堆纸牌数分别为：

①$9$ ②$8$ ③$17$ ④$6$
移动 $3$ 次可达到目的：

从 ③ 取 $4$ 张牌放到 ④ $(9,8,13,10)$ -> 从 ③ 取 $3$ 张牌放到 ② $(9,11,10,10)$ -> 从 ② 取 $1$ 张牌放到① $(10,10,10,10)$。

输入输出格式
输入格式：
两行

第一行为：$N$（$N$ 堆纸牌，$1 \le N \le 100$）

第二行为：$A_1,A_2, … ,A_n$（$N$堆纸牌，每堆纸牌初始数，$1 \le A_i \le 10000$）

输出格式：
一行：即所有堆均达到相等时的最少移动次数。

输入输出样例
输入样例#1：
4
9 8 17 6
输出样例#1：
3

 

题解：

首先，由于总牌数是 $N$ 的整数倍，因此肯定是可以有解的。每个牌堆最终的牌数就是总牌数除以堆数，设为 $k$。

其次，任意相邻的两个牌堆之间，最多只进行一次移牌操作，否则就是多余操作（这是很显然的）。因此，不管怎么样，移动次数最多也就 $N-1$ 次。

那么，如何判断这个间隔是否需要进行移牌操作？

其实很简单，假设这个间隔是牌堆 $i$ 和 牌堆 $i+1$ 的间隔，那么只要前 $i$ 堆牌数之和不等于 $k \cdot i$，就要在牌堆 $i$ 和牌堆 $i+1$ 之间进行一次移牌操作。

原因也很简单，左边的牌数不对，右边的牌数自然也不对，如果不在当前这个间隔移牌，就不可能让左右两边的牌数变对，因此必须移牌。

 

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,s[105];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1,x;i<=n;i++) cin>>x, s[i]=s[i-1]+x;
    k=s[n]/n;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(s[i]!=k*i) ans++;
    cout<<ans<<endl;
}