CF645D - Robot Rapping Results Report 题解

$ Problem $

有 \(N\) 个机器人，给出 \(M\) 组关系，表示两个机器人的能力关系，问至少需要前几组关系可以确定所有机器人的排名。

$ Solution $

由于是求最少的前几组关系，而关系越少越难确定排名，关系越多越容易确定，不难发现本题满足单调性，考虑二分。

那么给出关系要求总排名的题，就应该使用拓扑排序实现。

$ Topological\ Sorting $

对于一个有向图，每次从一个入度为 \(0\) 的节点开始，删除它和它的所有出边，并将它存储到拓扑序列里。

如果图存在环，或者关系不足，那么拓扑排序将无法遍历所有节点（但是本题不考虑环，因为机器人的能力不可能成为一个环）。

剩下的拓扑序列就是机器人的总排名。

\[Code \]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m;

int x[100005],y[100005],d[100005];
queue<int>q;

namespace Graph //链式前向星存图
{
    int h[100005],to[100005],nxt[100005],idx;
    void init_graph(void)
    {
        while(!q.empty())
            q.pop();
        memset(d,0,sizeof(d));
        memset(h,-1,sizeof(h));
        idx=0;
    }

    void add_edge(int u,int v)
    {
        to[idx]=v;
        nxt[idx]=h[u];
        h[u]=idx++;
    }
}

using namespace Graph;

bool check(int k)
{
    init_graph();
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        add_edge(x[i],y[i]);
        d[y[i]]++;//存每个点的入度
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(d[i]==0)q.push(i);
    if(q.size()>1||q.size()==0)return false;
    while(!q.empty())//用 BFS 遍历
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        for(int i=h[t];i!=-1;i=nxt[i])
        {
            int j=to[i];
            d[j]--;//删边
            if(!d[j])//入度为 0
                q.push(j);
        }
        if(q.size()>1)return false;
    }
    return true;
}

signed main(void)
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        cin>>x[i]>>y[i];
    int l=1,r=m,mid;
    while(l<r)//二分
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid))r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    if(check(l))
        cout<<l;
    else
        cout<<-1;
    return 0;
}